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Na matemática, e mais especificamente na teoria de corpos, uma extensão radical de um corpo ${\displaystyle K}$ é uma extensão de corpos obtida por uma torre de extensões de corpos, cada uma gerada pela adjunção de uma raiz enésima de um elemento do corpo anterior.^[1][2][3][4]

Uma extensão radical simples é uma extensão simples ${\displaystyle F/K}$ gerada por um único elemento ${\displaystyle \alpha }$ que satisfaz ${\displaystyle \alpha ^{n}=b}$ para um elemento ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle K}$. Na característica ${\displaystyle p}$, também consideramos uma extensão por uma raiz de um polinômio de Artin-Schreier como sendo uma extensão radical simples.

Uma série radical é uma torre ${\displaystyle K=F_{0}<F_{1}<\cdots <F_{k}}$ onde cada extensão ${\displaystyle F_{i}/F_{i-1}}$ é uma extensão radical simples. Neste caso, a extensão de corpos ${\displaystyle F_{k}/K}$ é chamada de extensão radical.

1. Se ${\displaystyle E}$ é uma extensão radical de ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle F}$ é uma extensão radical de ${\displaystyle K}$, então ${\displaystyle E}$ é uma extensão radical de ${\displaystyle K}$.
2. Se ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle F}$ são extensões radicais de ${\displaystyle K}$ em um corpo de extensão ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle K}$, então o compósito ${\displaystyle EF}$ (o menor subcorpo de ${\displaystyle C}$ que contém tanto ${\displaystyle E}$ quanto ${\displaystyle F}$) é uma extensão radical de ${\displaystyle K}$.
3. Se ${\displaystyle E}$ é uma extensão radical de ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle E>K>F}$, então ${\displaystyle E}$ é uma extensão radical de ${\displaystyle K}$.

As extensões radicais ocorrem naturalmente ao resolver equações polinomiais por radicais. De fato, uma solução por radicais é a expressão da solução como um elemento de uma série radical: um polinômio ${\displaystyle f}$ sobre um corpo ${\displaystyle K}$ é dito ser solúvel por radicais se houver um corpo de decomposição de ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle K}$ contido em uma extensão radical de ${\displaystyle K}$.

O Teorema de Abel-Ruffini afirma que tal solução por radicais não existe, em geral, para equações de grau cinco ou superior. Évariste Galois mostrou que uma equação é solúvel por radicais se e somente se o seu grupo de Galois for solúvel. A demonstração baseia-se no teorema fundamental da teoria de Galois e no seguinte teorema:

Seja ${\displaystyle K}$ um corpo contendo ${\displaystyle n}$ raízes enésimas da unidade distintas. Uma extensão de ${\displaystyle K}$ de grau ${\displaystyle n}$ é uma extensão radical gerada por uma raiz enésima de um elemento de ${\displaystyle K}$ se e somente se for uma extensão de Galois cujo grupo de Galois é um grupo cíclico de ordem ${\displaystyle n}$.

A demonstração está relacionada aos resolventes de Lagrange. Seja ${\displaystyle \omega }$ uma raiz enésima primitiva da unidade (pertencente a ${\displaystyle K}$). Se a extensão for gerada por ${\displaystyle \alpha }$ com ${\displaystyle x^{n}-a}$ como polinômio mínimo, o mapeamento ${\displaystyle \alpha \mapsto \omega \alpha }$ induz um ${\displaystyle K}$-automorfismo da extensão que gera o grupo de Galois, mostrando a implicação de "somente se". Por outro lado, se ${\displaystyle \phi }$ é um ${\displaystyle K}$-automorfismo que gera o grupo de Galois, e ${\displaystyle \beta }$ é um gerador da extensão, seja:

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).}$

A relação ${\displaystyle \phi (\alpha )=\omega \alpha }$ implica que o produto dos conjugados de ${\displaystyle \alpha }$ (isto é, as imagens de ${\displaystyle \alpha }$ pelos ${\displaystyle K}$-automorfismos) pertence a ${\displaystyle K}$, e é igual ao produto de ${\displaystyle \alpha ^{n}}$ pelo produto das raízes enésimas da unidade. Como o produto das raízes enésimas da unidade é ${\displaystyle \pm 1}$, isto implica que ${\displaystyle \alpha ^{n}\in K,}$ e, portanto, que a extensão é uma extensão radical.

Segue deste teorema que uma extensão de Galois pode ser estendida para uma extensão radical se e somente se o seu grupo de Galois for solúvel (mas existem extensões de Galois não radicais cujo grupo de Galois é solúvel, por exemplo ${\displaystyle \mathbb {Q} (\cos(2\pi /7))/\mathbb {Q} }$). Este é, na terminologia moderna, o critério de solubilidade por radicais que foi fornecido por Galois. A demonstração usa o fato de que o fecho de Galois de uma extensão radical simples de grau ${\displaystyle n}$ é a extensão do mesmo por uma raiz enésima primitiva da unidade, e que o grupo de Galois das raízes enésimas da unidade é cíclico.^[5][6][7]