מרחב מטרי

בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שמוגדרת עליה פונקציה סימטרית ואי-שלילית המפרידה נקודות והמקיימת את אי-שוויון המשולש. פונקציה כזו (הנקראת מטריקה) מקיימת את התכונות היסודיות של המרחק הגאוגרפי, ולכן רואים בה הכללה של מושג המרחק. המטריקה מאפשרת להגדיר במרחב כדורים, שבזכותם יש למרחבים מטריים תכונות טופולוגיות אופטימליות.

מטריקה על קבוצה לא ריקה ${\displaystyle S}$ היא פונקציה ${\displaystyle d\colon S\times S\rightarrow \mathbb {R} }$ המקיימת את התכונות הבאות לכל ${\displaystyle x,y,z\in S}$:

• אי-שליליות: ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$.
• הפרדת נקודות: ${\displaystyle d(x,y)=0}$ אם ורק אם ${\displaystyle x=y}$ (ולכן, מכך שהמטריקה היא אי-שלילית, נובע ש ${\displaystyle d(x,y)\neq 0}$ אם ורק אם ${\displaystyle x\neq y}$, כלומר המטריקה מפרידה נקודות).
• סימטריות: ${\displaystyle \,d(x,y)=d(y,x)}$.
• אי-שוויון המשולש: ${\displaystyle \,d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$.

קבוצה ${\displaystyle S}$ שמוגדרת עליה מטריקה ${\displaystyle d}$ נקראת מרחב מטרי ומסומנת כזוג הסדור ${\displaystyle (S,d)}$, כאשר כאן הקבוצה ${\displaystyle S}$ היא המרחב, ואילו הפונקציה ${\displaystyle d}$ היא המטריקה (שלפעמים מכונה ״המרחק״). לעיתים, במיוחד כאשר ברור מהי המטריקה, מקצרים את הסימון ומתייחסים אל ${\displaystyle S}$ כאל המרחב המטרי.

מרחבים נורמיים הם דוגמה חשובה למרחב מטרי, שהרי הנורמה מאפשרת להגדיר מטריקה על ידי ${\displaystyle g(x,y)=\|x-y\|}$. בפרט הישר הממשי (עם נורמת הערך המוחלט: ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$), המישור האוקלידי והמרחב האוקלידי הם מרחבים מטריים מהסוג הזה, כאשר המטריקה היא המרחק הגאומטרי המוכר, כלומר הנורמה האוקלידית.

דוגמה חשובה נוספת, שמכלילה את המקרה של מרחב נורמי, היא מרחב גאודזי (או מרחב מטרי גאודזי), למשל פני כדור אוקלידי (כלומר ספירה, שם, בהינתן שתי נקודות ${\displaystyle x}$ ו ${\displaystyle y}$, מסתכלים על המעגל הגדול עליהן הן נמצאות, כלומר על המעגל שעובר דרך שתי הנקודות ומרכזו הוא הראשית ורדיוסו 1; בין שתי הנקודות ${\displaystyle x}$ ו ${\displaystyle y}$ עוברות שתי קשתות שנמצאות על המעגל, ומגדירים את ${\displaystyle d(x,y)}$ להיות אורך הקשת הקצרה שעוברת ביניהן). דוגמה נוספת של מרחב גאודזי (יותר כללית מפני כדור) היא יריעת רימן שלמה. באופן כללי, מה שמאפיין מרחבים גאודזיים הוא שלכל שתי נקודות ${\displaystyle x}$ ו ${\displaystyle y}$ במרחב ניתן למצוא מסילה שמחברת ביניהן באופן שומר מרחק, כלומר יש פונקציה (שתסומן ב ${\displaystyle \gamma }$) מהקטע ${\displaystyle [0,d(x,y)]}$ על הישר הממשי למרחב המטרי עצמו, והפונקציה הזו מקיימת ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ (כלומר מעתיקה את 0 ל ${\displaystyle x}$), ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ (כלומר מעתיקה את 1 ל ${\displaystyle y}$), והיא שומרת מרחקים (כלומר ${\displaystyle d(\gamma (s),\gamma (t))=|s-t|}$ לכל ${\displaystyle s,t\in [0,d(x,y)]}$).

על כל קבוצה אפשר להגדיר את המטריקה ${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x=y\\1&{\text{ if }}x\neq y\end{cases}}}$. מטריקה זו ידועה בתור "המטריקה הדיסקרטית" והטופולוגיה שמשרה היא הטופולוגיה הדיסקרטית (כלומר, במרחב זה כל קבוצה היא קבוצה פתוחה).

בהינתן מרחב מטרי ${\displaystyle (S,d)}$, נסתכל על איזשהי סדרת נקודות במרחב: ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$. נאמר שהסדרה מתכנסת לגבול אם קיימת נקודה ${\displaystyle x\in S}$ בעלת התכונה ש ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n},x)=0}$. במקרה כזה הנקודה ${\displaystyle x}$ תוגדר להיות הגבול של הסדרה ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$. נשים לב שהגבול ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n},x)=0}$ הוא גבול על הישר הממשי (כלומר גבול של סדרת המספרים הממשיים ${\displaystyle (d(x_{n},x))_{n=1}^{\infty }}$), שבעזרתו מגדירים גבול במרחב המטרי ${\displaystyle (S,d)}$.

לדוגמה, נניח שהמרחב המטרי ${\displaystyle (S,d)}$ הוא אוסף הפונקציות הרציפות על הקטע ${\displaystyle [1,2]}$, כאשר המרחק בין שתי פונקציות מוגדר להיות נורמת הסופרמום (${\displaystyle d(f,g):=\sup\{|f(t)-g(t)|:t\in [1,2]\}}$), ונסתכל על סדרת הפונקציות ${\displaystyle f_{n}(t):=\sin(t)+{\frac {tn}{tn+1}},t\in [1,2]}$. כפי שנראה מייד, סדרה זו מתכנסת לפונקציה ${\displaystyle f(t):=\sin(t)+1,t\in [1,2]}$ : אכן, חישוב פשוט מראה ש ${\displaystyle d(f_{n},f)=\sup\{|f_{n}(t)-f(t)|:t\in [1,2]\}=\sup \left\{{\frac {1}{tn+1}}:t\in [1,2]\right\}={\frac {1}{n+1}}}$, ולכן באמת ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(f_{n},f)=0}$, כלומר לפי הגדרת הגבול הפונקציה ${\displaystyle f}$ שהוגדרה לעיל היא גבול של הסדרה ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$.

באופן כללי, לא כל סדרה במרחב מטרי היא סדרה מתכנסת (דוגמה: ${\displaystyle S=[-2,2]}$, ${\displaystyle x_{n}:=(-1)^{n}}$), אבל ניתן להראות שאם סדרה היא סדרה מתכנסת, אז קיים לה גבול אחד ויחיד.

בהינתן מרחב מטרי ${\displaystyle (S,d)}$ וסדרת נקודות ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ במרחב, נאמר שהסדרה היא סדרת קושי (על שם המתמטיקאי אוגוסטין לואי קושי) אם היא בעלת התכונה הבאה: לכל ${\displaystyle \epsilon >0}$ קיים מספר טבעי ${\displaystyle n_{0}}$ כך שלכל שני מספרים טבעיים ${\displaystyle m,n}$ המקיימים ${\displaystyle m\geq n_{0}}$ וגם ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ מתקיים ${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\epsilon }$. במילים אחרות, החל ממקום מסוים המרחקים בין כל שני איברים בסדרה נהיים קטנים כרצוננו ובמידה אחידה. ניתן להראות שכל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, אבל לא תמיד סדרת קושי היא סדרה מתכנסת (דוגמה: ${\displaystyle S=(0,1)}$, כלומר הקטע הפתוח על הישר הממשי בין 0 ל 1, והסדרה היא ${\displaystyle x_{n}:=1/n}$). מרחב מטרי בו כל סדרת קושי היא סדרה מתכנסת מכונה מרחב מטרי שלם. לדוגמה, הישר הממשי עם המטריקה המוכרת (ערך מוחלט) הוא מרחב מטרי שלם, וכך גם כל מרחב אוקלידי ממימד גבוה יותר. מרחב בנך הוא מרחב נורמי שלם. הרבה משפטים חשובים ושימושיים תקפים במרחבים מטרים שלמים, אבל לא במרחבים מטרים כלליים. מתוכם ניתן לציין את משפט ההעתקה הפתוחה, משפט נקודת השבת של בנך, הלמה של קנטור ומשפט הקטגוריה של בר.

במרחב מטרי, קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת קטן מקבוע חיובי מסוים, נקראת "כדור פתוח". קבוצה המוכלת בכדור כזה נקראת קבוצה חסומה (ואם המרחב כולו הוא קבוצה חסומה, אומרים שהמרחב חסום).

אוסף הכדורים הפתוחים מהווה בסיס לטופולוגיה, וכך אפשר לראות כל מרחב מטרי כמרחב טופולוגי. בניגוד לסתם מרחב טופולוגי, כל מרחב מטרי מקיים את תכונת ההפרדה T4 (יתרה מזאת, כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמלי באופן מושלם או T6). מרחב מטרי הוא מרחב קומפקטי אם ורק אם הוא חסום כליל ושלם. אם המרחב חסום כליל, ההשלמה שלו היא דוגמה לקומפקטיפיקציה.

מרחב טופולוגי שניתן להגדיר עליו מטריקה שתגדיר את הטופולוגיה שלו נקרא מרחב מטריזבילי.

האוסדורף הגדיר מטריקה בין תת-הקבוצות הסגורות של מרחב מטרי קומפקטי, לפי ${\displaystyle \ d(A,B)=\inf _{r}\{A\subseteq \operatorname {B} _{r}(B),B\subseteq \operatorname {B} _{r}(A)\}}$, כאשר ${\displaystyle \ \operatorname {B} _{r}(A)=\cup _{a\in A}\operatorname {B} _{r}(a)}$. בהגדרה זו השתמש גרומוב כדי להגדיר את המרחק ${\displaystyle d_{GH}(A,B)}$ בין שני מרחבים מטריים A,B, כמרחק (האוסדורף) המינימלי בין כל שתי תמונות איזומטריות של המרחבים במרחב מטרי שלישי. מרחק האוסדורף-גרומוב של שני מרחבים הוא אפס אם ורק אם הם איזומטריים. הגדרה זו מובילה ל"טופולוגיית האוסדורף-גרומוב", שלפיה סדרת מרחבים מטריים מנוקדים מתכנסת למרחב מטרי מנוקד, אם לכל ${\displaystyle r}$, המרחקים בין הכדורים ברדיוס ${\displaystyle r}$ במרחבים הנתונים, לבין הכדור ברדיוס ${\displaystyle r}$ במרחב המטרה, שואפים לאפס. בדרך כלל קשה לחשב את המרחק המדויק בין שני מרחבים.

יהיו A,B מרחבים מטריים. העיוות ${\displaystyle d(R)}$ של יחס ${\displaystyle R\subset A\times B}$ הוא הסופרמום של ההפרשים ${\displaystyle |d(a,a')-d(b,b')|}$ על פני כל הזוגות ${\displaystyle (a,b),(a',b')\in R}$. נאמר שיחס R הוא התאמה (correspondence) אם ההטלות שלו על שני הרכיבים הן על. מרחק גרומוב-האוסדורף בין המרחבים A,B שווה למחצית האינפימום של כל העיוותים של התאמות בין A ל-B.

פונקציה המקיימת את האקסיומה ${\displaystyle d(x,z)\leq {\textrm {max}}\{d(x,y),d(y,z)\}}$ (שהיא חזקה יותר מאי-שוויון המשולש) נקראת אולטרה-מטריקה. מרחב שמוגדרת עליו אולטרה-מטריקה נקרא מרחב מטרי לא ארכימדי, או מרחב אולטרה-מטרי.

• מטריקה
• נורמה
• מרחב אורכים ומרחב גאודזי
• מרחב פסאודו-מטרי

• דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, כרך א', הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: מ"מ
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מרחב מטרי

• מרחב מטרי, באתר MathWorld (באנגלית)
• מרחב מטרי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מרחבים מטריים, דף שער בספרייה הלאומית