חבורת סימטריות מרחבית

בקריסטלוגרפיה, חבורת סימטריות מרחבית היא חבורה של סימטריות המעתיקות את הנקודות על סריג כלשהו לנקודות אחרות של אותו סריג.

חבורות כאלה מתארות את האופנים שבהם אפשר לסובב, להזיז או לשקף את הסריג, ולכן למבנה שלהן יש קשר הדוק לזה של הסריג שאליו הן מתייחסות. שלא כמו חבורת סימטריות נקודתית, שאיבריה שומרים נקודה של הסריג במקומה, בחבורה מרחבית יש גם העתקות המזיזות את הסריג כולו, ולכן אלו חבורות אינסופיות.

לחבורות הסימטריה המרחביות של סריגים דו-ממדיים ותלת-ממדיים יש תפקיד מכריע בקריסטלוגרפיה ויישומיה, והן נחקרות גם מהיבטים אלגבריים, גם כאובייקטים גאומטריים, וגם כאוספים קונקרטיים של פעולות על סריגים פיזיקליים. חבורות אלה נקראות "מרחביות" כדי לציין את היכולת שלהן להזיז את הסריג במרחב, ולהבדילן מחבורות הסימטריות הנקודתיות. חבורה הפועלות על סריג דו-ממדי נקראת לפעמים חבורת סימטריות מישורית. המונח "חבורת סימטריה מרחבית" מתייחס לעיתים קרובות למקרה התלת-ממדי.

על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות מרחבית פועלת בנאמנות על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח לחבורת הסימטריות המלאה של אותו סריג (הכוללת את כל הפעולות האפשריות). לדוגמה, במקרה החד-ממדי, חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של הסריג ${\displaystyle \ \mathbb {Z} }$ כוללת את השיקוף ואת כל ההזזות במספר שלם. עם זאת, גם החבורה המורכבת משיקוף ומהזזות במספרים זוגיים, ואפילו זו המורכבת מהזזות זוגיות בלבד, נקראת חבורת סימטריות מרחבית.

כל סריג במרחב האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$ הוא אוסף של נקודות ${\displaystyle \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}}$, כאשר L היא מטריצה ריבועית ממשית קבועה, ו- ${\displaystyle \ \mathbb {Z} ^{n}}$ הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים.

חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומהרכבות של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית. החבורה של כל הסימטריות השומרות על נקודת הראשית היא החיתוך ${\displaystyle \ S_{0}(\Lambda )=O_{n}(\mathbb {R} )\cap L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}}$, שהוא חבורה סופית (לפרטים ראו חבורת סימטריות נקודתית). באותו אופן, העתקה אפינית ${\displaystyle \ x\mapsto v_{0}+Ax}$ היא סימטריה של הסריג, בדיוק כאשר ${\displaystyle \ v_{0}\in \Lambda }$ ו- ${\displaystyle \ A\in S_{0}(\Lambda )}$. ההעתקות הטהורות ${\displaystyle \ x\mapsto x+v_{0}}$ מהוות תת-חבורה נורמלית של חבורת הסימטריות המרחבית (המלאה) של הסריג, וחבורת המנה היא חבורת הסימטריות הנקודתית (המלאה). את המכפלה הישרה למחצה המתקבלת, אפשר להציג באופן מפורש כחבורה של מטריצות: ${\displaystyle \ S(\Lambda )=\left({\begin{array}{cc}{S_{0}(\Lambda )}&{\Lambda }\\{0}&{1}\end{array}}\right)}$.

כל תת-חבורה של החבורה הזו קרויה "חבורת סימטריות מרחבית" (מממד n). מכיוון שהסריג דיסקרטי במרחב, גם החבורה המרחבית היא תת-חבורה דיסקרטית של חבורת הסימטריות המתאימה, ${\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}}$. שלא כמו חבורת הסימטריות המלאה, חבורת סימטריות מרחבית G אינה חייבת להתפרק כמכפלה ישרה למחצה. עם זאת, תת-החבורה J של ההעתקות היא תת-חבורה נורמלית, והמנה G/J היא חבורת הסימטריות הנקודתיות המתאימה ל-G.

שתי חבורות סימטריה מרחביות הן בעלות אותו "טיפוס קריסטלוגרפי", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית שומרת כיוון של המרחב (לאלו יש הצורה ${\displaystyle \,x\mapsto b+Ax}$ עם דטרמיננטה ${\displaystyle \ \det(A)=1}$). הטיפוס הקריסטלוגרפי הוא הקובע את האופן שבו החבורה פועלת על סריג, והוא המיון העדין ביותר שיש בו טעם. באופן כללי יותר, לשתי חבורות יש אותו "טיפוס אפיני", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית כלשהי. כל טיפוס אפיני מורכב מטיפוס קריסטלוגרפי אחד או שניים; אם חבורה אחת מתקבלת מאחרת על ידי שיקוף של המרחב, אז הן בעלות אותו טיפוס אפיני, אבל לא בהכרח אותו טיפוס קריסטלוגרפי.

בממדים 1 ו-2, אין הבדל בין "טיפוס אפיני" ו"טיפוס קריסלוגרפי", משום שתמונת הראי של סיבוב היא סיבוב בכיוון ההפוך. לעומת זאת, בממד 3, תמונת הראי של סיבוב בורג ימני היא סיבוב בורג שמאלי (ואילו הפעולה ההפוכה לסיבוב בורג ימני היא סיבוב של אותו בורג ימני, עם העתקה בכיוון ההפוך).

משפט ביברבך קובע שבכל ממד, אם שתי חבורות מרחביות הן איזומורפיות זו לזו, אז יש להן אותו טיפוס אפיני. משום כך, לעיתים משתמשים במושג "חבורת סימטריות מרחבית" גם כדי לתאר את טיפוס החבורה, בלי הצגה מפורשת כחבורה אפינית. כשמדובר בקשרים בין חבורה לתת-חבורות, יש להבחין בין הטיפוס לחבורה עצמה; גם חבורת המנה של זוג כזה תלויה בדרך כלל בתת-החבורה עצמה, ולא רק בטיפוס שלה.

יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות, המתאימות ל-14 מחלקות בראבה, השייכות בתורן לשבע מערכות גביש. החבורה הנקודתית משאירה נקודה קבועה במקומה, ופועלת בדרך של שיקוף, סיבוב או הרכבה של פעולות אלה. חבורת כל הסימטריות של סריג מורכבת, כאמור, מן החבורה הנקודתית, ומסימטריות ההזזה של הסריג; סימטריות אלה אינן תלויות במפורש במבנה המדויק של הסריג, אלא רק במחלקת בראבה שאליה הסריג שייך. חבורת הסימטריות המרחבית עשויה לכלול גם פעולות משולבות כמו סיבוב בורג, או החלקה ושיקוף במישור, כפי שיוסבר להלן. מכל הפעולות האלה אפשר לקבל בדיוק 230 חבורות סימטריה מרחביות שונות.

כאמור לעיל, חבורת סימטריות מלאה של סריג n ממדי נוצרת על ידי n הזזות בצירים שונים של הסריג, ועל ידי הסיבובים השומרים על נקודת הראשית קבועה. כאשר מדובר בחבורת סימטריה מרחבית הכוללת רק חלק מן הסימטריות של הסריג, לא תמיד אפשר ליצור אותה על ידי פעולות פשוטות, ויש צורך לאפשר גם פעולות כמו "החלקה במישור" ו"סיבוב בורג", המערבות סיבוב והעתקה.

החלקה במישור היא שיקוף הסריג ביחס למישור קבוע, ואחריו החלקה במקביל לאותו מישור. מקובל לסמן פעולה כזו ב- a, b או c, בהתאם לכיוון ההחלקה (אם זהו אחד מן הכיוונים היסודיים של הסריג). לפעמים ההחלקה אינה בווקטור סריג שלם, אלא בחצי-האלכסון של פאה של תא היחידה ("החלקת-n") או ברבע האלכסון של פאה של התא ("החלקת-d"). להחלקת-d קוראים גם "החלקת יהלום", משום שהיא מופיעה בסריג של היהלום.

סיבוב בורג הוא סיבוב של הסריג ביחס לציר, ואחריו העתקה בכיוון אותו ציר. מסמנים את הפעולה במספר, n, המתאר את הסדר של פעולת הסיבוב (לדוגמה, '3' הוא שליש סיבוב). מידת ההעתקה, ביחידות של וקטור הסריג באותו כיוון, נוספת כאינדקס לסדר הסיבוב.

יש כמה שיטות שונות לסימון חבורות מרחביות. האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה מפרסם כרך של טבלאות המתארות את כל החבורות המרחביות, ומתאים לכל אחת מהן מספר ייחודי. פרט למספור המקובל הזה, יש שתי שיטות אחרות: סימון הרמן-מוגן וסימון שנפליס.

סימון הרמן-מוגן (הנקרא גם "הסימון הבינלאומי") הוא הסימון המקובל בתחום, והוא מורכב מארבעה תווים ראשיים. הראשון מתאר את אופי המרכוז של סריג בראבה המתאים לחבורה: P, A, B, C, I, R או F. שלושת הבאים מתארים את פעולות הסימטריה הבולטות ביותר, כאשר מטילים בכיוון הסימטריה העיקרי של הסריג. הסמלים זהים לאלו המשמשים בחבורות נקודתיות, בתוספת האפשרות להחלקה במישור ולסיבובי בורג, שתוארו לעיל. לדוגמה, החבורה המרחבית של הקוורץ היא ${\displaystyle \,P3_{1}21}$, ופירושו של דבר שהיא נוצרת על ידי מרכוז פרימיטיבי של תא היחידה (P), עם שליש סיבוב (והחלקה) בכיוון אחד, מחצית הסיבוב בכיוון אחר, וסיבוב מלא בכיוון שלישי. מן הסימון לא ניתן לקרוא את המערכת הגבישית, אם כי זו נקבעת באופן יחיד לכל חבורה מרחבית (המערכת היא טריגונלית במקרה של הקוורץ).

בשיטת סימון זו, הסימן הראשון (${\displaystyle 3_{1}}$ בדוגמה) קובע את פעולת החבורה בכיוון של הציר הראשי (הציר c במקרה של סריגים טריגונליים), השני מתאר את הפעולה בכיוון השני בגודלו (a ו-b במקרה זה), והשלישי הוא פעולת הסימטריה בכיוון אחר, אם יש כזו. לסריגים טריגונליים יש חבורת סימטריה מרחבית נוספת - ${\displaystyle \,P3_{1}12}$, שבה פעולת מחצית הסיבוב אינה בכיוון הצירים המשניים a ו-b, אלא בכיוון אחר, הנמצא בזווית ${\displaystyle \,30^{\circ }}$ מהם.

אם מתעלמים מן ההסטה שיש בכל פעולה בחבורה, מתקבלת חבורת המנה ביחס לחבורת ההסטות, שהיא חבורת סימטריות נקודתית. מנקודת המבט הזו, הנקודתית, סיבוב בורג שקול לסיבוב הטהור באותה זווית, והחלקת מישור שקולה לשיקוף באותו מישור. באמצעות ניוון מתאים של יוצרי החבורה, אפשר להתאים כל חבורת סימטריות מרחבית לחבורת הסימטריות הנקודתית שלה.

בממד 1 יש רק שני טיפוסים אפיניים: החבורה הדיהדרלית האינסופית, שיש בה סימטריית שיקוף, והחבורה הציקלית האינסופית, המורכבת מהזזות בלבד.

בממד 2 יש 17 חבורות סימטריה מרחביות, הידועות גם כ"חבורות ריצוף" של המישור, או "חבורות סימטריה מישוריות".

בממד 3 יש 230 חבורות סימטריה מרחביות (היינו, 230 טיפוסים קריסטלוגרפיים), השייכות ל-219 טיפוסים אפיניים, מכיוון שכמה חבורות שונות מתמונת המראה שלהן (לדוגמה, ${\displaystyle P3_{1}12}$ ו-${\displaystyle P3_{2}12}$). החבורות האלה מתמיינות ל-32 "מחלקות סריגיות" (crystal classes), על-פי החבורה הנקודתית.

בממד 4 יש 4,895 חבורות סימטריה מרחביות, השייכות ל-4,783 טיפוסים אפיניים ^[1].

להמשך הסדרה לממדים גבוהים יותר, ראו סדרות A004029 ו- A006227 באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.

בחבורת סימטריות מרחבית אפשר לאתר, כאמור, חבורת סימטריות נקודתית, ואחד מסריגי בראבה. עם זאת, ישנם צירופים שעבורם יש כמה חבורות מרחביות שונות, וצירופים אחרים אינם אפשריים כלל.

את 230 החבורות המרחביות אפשר לחלק לשתי קטגוריות:

• 73 טיפוסי חבורות מרחביות "סימורפיות": אפשר לתאר את כל הסימטריות בחבורה במונחים של צירי סיבוב ומישורי שיקוף ביחס לאותה נקודה, בלי סיבובי בורג והחלקת מישור. אלו החבורות שהן מכפלה ישרה למחצה של חבורת הסימטריות הנקודתית עם חבורת ההזזות השייכות לאותה חבורה.
• 157 חבורות מרחביות אחרות.

ג'ון קונוויי וויליאם ת'רסטון הציעו חלוקה לחבורות פריקות ואי-פריקות. החבורות המרחביות הפריקות מתאימות ל-17 המחלקות של חבורות ריצופי המישור, ואת שאר 35 החבורות המרחביות יש למיין בנפרד.

בנוסף לחבורות הסימטריה המרחביות, לומדים גם "חבורות מרחביות מגנטיות" ו"חבורות כפולות", המתאימות למבנים סריגיים, שבהם לכל נקודת סריג יש תכונות נוספות. לדוגמה, בחומרים פרומגנטיים, פרימגנטיים או אנטיפרומגנטיים יש חלקיקים בעלי ספין מגנטי. על הסריגים האלה פועלים, בנוסף לסימטריות הרגילות, גם איבר "היפוך זמן", ההופך את הספין המגנטי ואינו משפיע על מבנה הסריג. אם מביאים בחשבון את איבר היפוך הזמן, יש 1,651 "חבורות מרחביות מגנטיות" בשלושה ממדים.^[2]

• לאונרד זונקה - יוצר התורה של חבורות סימטריה מרחביות
• יבגראף פיודורוב – מתמטיקאי וקריסטלוגרף רוסי שגילה את כל 230 חבורות הסימטריה המרחביות.
• ארתור מוריץ שנפליס – מתמטיקאי יהודי גרמני שגילה את כל 230 חבורות הסימטריה המרחביות במקביל לפיודורוב.

מדיה וקבצים בנושא חבורת סימטריות מרחבית בוויקישיתוף

• חבורת סימטריות מרחבית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• חבורת סימטריות מרחבית, באתר MathWorld (באנגלית)

• International Union of Crystallography
• Point Groups and Bravais Lattices
• Bilbao Crystallographic Server
• Space Group Info (old)
• Space Group Info (new)
• Crystal Lattice Structures: Index by Space Group
• Full list of 230 crystallographic space groups