המשפט היסודי של האריתמטיקה

המשפט היסודי של האריתמטיקה או משפט הפירוק לראשוניים הוא משפט מתמטי הקובע כי כל מספר טבעי יכול להיכתב באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים, עד כדי שינוי הסדר של המחלקים. בכלל זה מכפלה של גורם אחד (כאשר המספר הוא ראשוני בעצמו), ומכפלה ריקה של אפס גורמים (המספר 1).

למשל, את המספר ${\displaystyle 1176}$ ניתן לכתוב כמכפלה הבאה של מספרים ראשוניים:${\displaystyle \!\,1176=2^{3}\cdot 3\cdot 7^{2}}$. ואין שום דרך אחרת לכתוב את המספר הזה בתור מכפלת ראשוניים.

המשפט מראה כי למספרים הראשוניים חשיבות רבה - הם מהווים את "אבני הבניה" הבסיסיות של כל המספרים. למשפט שימושים רבים, החל במציאת המחלק המשותף המקסימלי של מספרים וכלה בהוכחת משפטי האי-שלמות של גדל.

כמעט כל מרכיבי המשפט היסודי של האריתמטיקה, גם אם לא הניסוח המודרני, נמצאים ביסודות של אוקלידס. להוכחת המשפט שני מרכיבים: בראשון מוכיחים כי לכל מספר טבעי קיים פירוק לגורמים ראשוניים, ובשני מוכיחים כי פירוק כזה הוא יחיד.

ההוכחה היא באינדוקציה שלמה. עבור ${\displaystyle n}$ טבעי, נניח שכל מספר קטן מ-${\displaystyle n}$ ניתן לכתוב כמכפלת גורמים ראשוניים, ונראה שהדבר גורר שניתן לכתוב את ${\displaystyle n}$ עצמו כמכפלת גורמים ראשוניים.

ברור שהטענה נכונה עבור ${\displaystyle n=1}$, שהוא מכפלה ריקה.

נפצל למקרים:

• ${\displaystyle n}$ ראשוני – אזי הוא מוצג כמכפלה של גורם ראשוני אחד, כדרוש.
• ${\displaystyle n}$ אינו ראשוני – אז אפשר לפרק אותו לגורמים קטנים יותר, ${\displaystyle n=ab}$. לפי הנחת האינדוקציה, אפשר לכתוב כל אחד מן הגורמים ${\displaystyle a}$ ו-${\displaystyle b}$ כמכפלת ראשוניים, ולכן ניתן לכתוב את ${\displaystyle n}$ כמכפלת הגורמים הראשוניים של ${\displaystyle a}$ כפול מכפלת הגורמים הראשוניים של ${\displaystyle b}$.

היחידות מבוססת על הלמה של אוקלידס: אם מספר ראשוני ${\displaystyle p}$ מחלק מכפלה, אז הוא מוכרח לחלק אחד מן הגורמים.

נוכיח יחידות באינדוקציה שלמה על ${\displaystyle n}$.

נניח כי לכל מספר שלם חיובי קטן מ-${\displaystyle n}$ יש הצגה יחידה כמכפלה של גורמים ראשוניים. יהיו ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}\cdots q_{s}}$ שני פירוקים של n למכפלת גורמים ראשוניים.

מכיוון ש-${\displaystyle p_{1}}$ ראשוני, הוא מקיים את תכונת אוקלידס, ומחלק אחד מן הגורמים במכפלה האחרת, נאמר ${\displaystyle q_{j}}$ (${\displaystyle 1\leq j\leq s}$).

אבל ${\displaystyle q_{j}}$ עצמו ראשוני, ומכאן ש- ${\displaystyle p_{1}=q_{j}}$. כעת אפשר לצמצם את שני הגורמים הללו, ולקבל מספר קטן יותר מ-${\displaystyle n}$.

לפי הנחת האינדוקציה, למספר החדש יש פירוק יחיד ומכאן שהגורמים בשתי ההצגות שהתקבלו שווים זה לזה בהתאמה.

מכאן גם נובע שהפירוק של ${\displaystyle n}$ הוא יחיד, כפי שרצינו להוכיח.

את המושגים "איבר אי-פריק" ו"איבר ראשוני" אפשר להגדיר בכל תחום שלמות: איבר לא הפיך הוא אי-פריק אם לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של איברים לא הפיכים, והוא ראשוני אם הוא אינו יכול לחלק מכפלה בלי לחלק את אחד מגורמיה. בחוג המספרים השלמים שני המושגים מתלכדים, ובדרך כלל מגדירים "מספר ראשוני" דווקא בהגדרה המתאימה לאיבר אי-פריק של החוג. איבר ראשוני הוא תמיד אי-פריק, אבל ההפך אינו נכון.

המשפט היסודי של האריתמטיקה, או גרסאות אחרות שלו, מתקיים בתחומי שלמות מסוימים, אך לא בכולם. תכונת הקיום - כל איבר (לא הפיך) אפשר לכתוב כמכפלה של איברים אי-פריקים - מגדירה סוג של תחומי שלמות הנקראים "אטומיים", והיא מתקיימת בכל תחום שלמות נותרי. לעומת זאת, פירוק לגורמים ראשוניים עשוי שלא להיות קיים אפילו בתחום נותרי: אם קיים פירוק לגורמים ראשוניים, אז הוא יחיד, עד כדי סדר (בין כל הפירוקים לגורמים אי-פריקים).

יחידות הפירוק, כאמור, היא עניין סבוך יותר. תחום שבו מתקיים המשפט היסודי של האריתמטיקה - כל איבר (לא הפיך) מתפרק באופן יחיד לגורמים אי-פריקים - נקרא תחום פריקות יחידה. בדיוק כמו בחוג השלמים, בחוג כזה מתלכדים המושגים "איבר ראשוני" ו"איבר אי-פריק". הדוגמאות הבולטות לחוג כזה: כל תחום ראשי (ובפרט - כל תחום אוקלידי), וגם כל חוג פולינומים מעל שדה, בכל מספר של משתנים. החוג ${\displaystyle \ F[\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ]}$ (עם אינסוף משתנים) הוא דוגמה לתחום פריקות יחידה שאינו נותרי.

הכללה בכיוון אחר מתקבלת ממשפט ז'ורדן-הולדר לפיו סדרת הרכב של חבורה סופית היא יחידה עד-כדי סדר ועד-כדי איזומורפיזם של חבורות. במקרה של חבורות מהצורה ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ - זהו ניסוח שקול למשפט היחידות של הפירוק לראשוניים. משפטים דומים לגבי קיום ויחידות סדרת ההרכב מתקיימים גם במבנים אלגבריים נוספים.

מדיה וקבצים בנושא המשפט היסודי של האריתמטיקה בוויקישיתוף

• המשפט היסודי של האריתמטיקה, באתר MathWorld (באנגלית)
• המשפט היסודי של האריתמטיקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)