Eine String-Gruppe ist in den mathematischen Teilgebieten der Algebraischen Topologie und Differentialtopologie eine topologische Gruppe, welche im Whitehead-Turm^[1] einer orthogonalen Gruppe auftaucht, also aus dieser durch Entfernung von Homotopiegruppen von unten entsteht. Die String-Gruppe ist darin die 3-zusammenhängende Überlagerung der einfach zusammenhängenden Spin-Gruppe und wird selbst von der 7-zusammenhängenden Fivebrane-Gruppe überlagert:

${\displaystyle \ldots \rightarrow \operatorname {Ninebrane} (n)\rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n).}$

Üblicherweise wird die String-Gruppe erst ab ${\displaystyle n\geq 5}$ betrachtet, da sich dann die entfernte Homotopiegruppe im Muster der Bott-Periodizität stabilisiert. String-Gruppen sind unendlichdimensional und daher insbesondere keine Lie-Gruppen, haben aber durch Kombination mit Höherer Kategorientheorie die Struktur von 2-Gruppen. Zudem ermöglichen String-Gruppen eine tangentiale Struktur, welche String-Struktur genannt wird. Ihre Benennung stammt von der Verwendung in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, insbesondere bei der Beschreibung von Strings.

Im Whitehead-Turm^[1] eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ wird die ${\displaystyle n}$-fache Überlagerung auch als ${\displaystyle X\langle n+1\rangle }$ bezeichnet. Mit dieser Notation^[2] sei:

${\displaystyle \operatorname {String} (n):=\operatorname {O} (n)\langle 4\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {String} :=\operatorname {O} \langle 4\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {String} (n)}$

Da der klassifizierende Raum sämtliche Homotopiegruppen eins hinauf verschiebt^[2][3] ist hier insbesondere:

${\displaystyle \operatorname {BString} (n)=\operatorname {BO} (n)\langle 5\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {BString} =(\operatorname {BO} )\langle 5\rangle }$

Da ${\displaystyle \pi _{4}\operatorname {O} \cong \pi _{5}\operatorname {O} \cong \pi _{6}\operatorname {O} \cong 1}$ ist sogar:^[2]

${\displaystyle \operatorname {String} =\operatorname {O} \langle 5\rangle =\operatorname {O} \langle 6\rangle =\operatorname {O} \langle 7\rangle ;}$

${\displaystyle \operatorname {BString} =(\operatorname {BO} )\langle 6\rangle =(\operatorname {BO} )\langle 7\rangle =(\operatorname {BO} )\langle 8\rangle .}$

Ganz allgemein sind in Whitehead-Türmen sämtliche Abbildungen jeweils Faserbündel mit Eilenberg-MacLane-Räumen als Fasern, nämlich genau für die entfernte Homotopiegruppe in genau einem Grad weniger. Im Fall der String-Gruppe und der nächstniedrigeren Gruppe im Whitehead-Turm, nämlich der Spin-Gruppe, ergeben sich zusätzlich mit Anwendung des klassifizierenden Raumes, welche den Grad des Eilenberg-MacLane-Raumes einen Grad hinauf schiebt, sowie der Komplexifizierung im stabilen Fall die Faserbündel:^[4]

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} \rightarrow \operatorname {Spin} ;}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)\rightarrow \operatorname {BString} \rightarrow \operatorname {BSpin} ;}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)\rightarrow (\operatorname {BU} )\langle 6\rangle \rightarrow \operatorname {BSU} =(\operatorname {BU} )\langle 4\rangle .}$

In der ersten Sequenz kann insbesondere der unendlich komplexe projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ als Modell für den Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ eingesetzt werden.^[5] Da dieser unendlichdimensional ist, ist es folglich auch die String-Gruppe.

• Hisham Sati, Urs Schreiber und Jim Stasheff: Fivebrane Structures. In: Reviews in Mathematical Physics. Band 21, 5. Mai 2008, S. 1197–1240, doi:10.1142/S0129055X09003840, arxiv:0805.0564 (englisch). 
• Hisham Sati und Matthew Wheeler: Variations of rational higher tangential structures. In: Journal of Geometry and Physics. Band 130, 21. Dezember 2016, S. 229–248, doi:10.1016/j.geomphys.2018.04.001, arxiv:1612.06983 (englisch). 

• string group und string 2-group auf nLab (englisch)

1. ↑ ^{a b} Sati & Wheeler 2018, Example 3
2. ↑ ^{a b c} Sati & Wheeler 2018, Notation unten auf S. 4
3. ↑ Schreiber, Sati & Stasheff 2009, Gleichung (40)
4. ↑ Sati, Schreiber & Stasheff 2009, Gleichungen (71) und (72)
5. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. Example 4.50. (cornell.edu [PDF]).