In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ein Tupel von natürlichen Zahlen oder Null.

Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.

In diesem Artikel seien ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ {\boldsymbol {k}}=(k_{1},\ldots ,k_{n}),\ {\boldsymbol {\ell }}=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ jeweils ein Multiindex, das heißt ein ${\displaystyle n}$-Tupel von natürlichen Zahlen oder Null. Wir vereinbaren die folgenden Konventionen:

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}{\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}=\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}=\ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}\leq \ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}\leq \ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\ell }}&:=&(k_{1}+\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}+\ell _{n})\\\\{\boldsymbol {k}}!&:=&k_{1}!\cdots k_{n}!\\\\{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}&:=&{\frac {{\boldsymbol {\alpha }}!}{({\boldsymbol {\alpha -k}})!\,{\boldsymbol {k}}!}}={\alpha _{1} \choose k_{1}}\cdots {\alpha _{n} \choose k_{n}}\\\\|{\boldsymbol {k}}|&:=&k_{1}+\cdots +k_{n}\\\\{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}&:=&x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\\\\{\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}&:=&D_{1}^{k_{1}}\cdots D_{n}^{k_{n}}\,,\end{array}}}$

wobei ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ die Koordinatenfunktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. ${\displaystyle {\boldsymbol {D_{\boldsymbol {k}}}}}$ ist der Differentialoperator der Ordnung ${\displaystyle |k|}$, der aus den partiellen Ableitungen ${\displaystyle D_{i}x_{j}=\delta _{ij},i,j\in \{1,\dots n\},}$ zusammengesetzt ist.

Es gibt ${\displaystyle {{\boldsymbol {n+|{\boldsymbol {k}}|-1}} \choose {\boldsymbol {|k|}}}}$ verschiedene Multiindizes der Größe ${\displaystyle |{\boldsymbol {k}}|}$ in ${\displaystyle n}$ Variablen oder homogene Monome vom Grade ${\displaystyle |{\boldsymbol {k}}|}$ in ${\displaystyle n}$ kommutierenden Variablen.

Dies sieht man am Binomialkoeffizienten in ${\displaystyle (a+b)^{n+|{\boldsymbol {k}}|-1}=\dots +{{\boldsymbol {n+|{\boldsymbol {k}}|-1}} \choose {\boldsymbol {|k|}}}a^{|{\boldsymbol {k}}|}b^{n-1}+\dots .}$ Der Koeffizient ist die Anzahl von Möglichkeiten, ${\displaystyle n+|{\boldsymbol {k}}|-1}$ Plätze mit ${\displaystyle |{\boldsymbol {k}}|}$ Symbolen ${\displaystyle a}$ und die restlichen ${\displaystyle n-1}$Plätze mit Symbolen ${\displaystyle b}$ zu belegen.

Diese Anzahl ist richtig, unabhängig davon was ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist. Sie gilt für die Zahl von Zeichenketten, in denen ${\displaystyle b}$ die ${\displaystyle n-1}$ Trennzeichen zwischen ${\displaystyle n}$ Symbolen ${\displaystyle x_{i}}$ ist, wobei der Index ${\displaystyle i}$ die Zahl der Trennzeichen auf der linken Seite von ${\displaystyle x_{i}}$ plus 1 ist. Jede solche Zeichenkette, beispielsweise ${\displaystyle aaabbab}$, entspricht einem Monom, hier ${\displaystyle (x_{1})^{3}(x_{2})^{0}(x_{3})^{1}(x_{4})^{0}}$ mit dem Multiindex ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}=(3,0,1,0)}$. Es gibt in 4 Variablen ${\displaystyle {7 \choose 4}=35}$ Multiindizes der Größe 4.

Eine Mehrfachpotenzreihe ${\displaystyle \sum _{k_{1}\geq 0}\cdots \sum _{k_{n}\geq 0}a_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z_{1}-z_{1}^{o})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-z_{n}^{o})^{k_{n}}}$ lässt sich kurz schreiben als ${\displaystyle \sum _{{\boldsymbol {k}}\geq 0}a_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {z}}^{o})^{\boldsymbol {k}}}$.

Sind ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}$ Multiindizes in ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$, so gilt ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}}!}}={\frac {{\boldsymbol {x}}^{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}}{({\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}})!}}}$ und ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}{\frac {(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}}{m!}}={\frac {(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m-|{\boldsymbol {k}}|}}{(m-|{\boldsymbol {k}}|)!}}}$.

Falls nicht ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}$, falls also eine Komponente von ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}$ negativ ist, so ist ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {m}}=0.}$

Für ${\displaystyle -{\boldsymbol {1}}<{\boldsymbol {x}}<{\boldsymbol {1}}}$ gilt ${\displaystyle \sum _{|{\boldsymbol {k}}|\geq 0}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}={\frac {1}{({\boldsymbol {1}}-{\boldsymbol {x}})^{\boldsymbol {1}}}}}$, wobei ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}=(1,\ldots ,1)}$ ist.

Sind ${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {C} ^{n}}$ und ist ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}$, so gilt ${\displaystyle ({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})^{\boldsymbol {m}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}} \choose {\boldsymbol {k}}}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {y}}^{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})^{\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}}!}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}{\frac {{\boldsymbol {y}}^{\boldsymbol {j}}}{{\boldsymbol {j}}!}}}$.

Für ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ist ${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{n}=m}{m \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}}{m!}}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{n}=m}{\frac {x_{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}\cdots {\frac {x_{n}^{k_{n}}}{k_{n}!}}}$, was sich kurz (aber lesefehleranfällig) schreiben lässt als ${\displaystyle {\frac {|{\boldsymbol {x}}|^{m}}{m!}}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=m}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}}$.

Ist ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ und sind ${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |{\boldsymbol {m}}|}$-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

${\displaystyle D_{\boldsymbol {m}}(fg)=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}} \choose {\boldsymbol {k}}}(D_{\boldsymbol {k}}f)(D_{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}g)}$

beziehungsweise

${\displaystyle {\frac {D_{\boldsymbol {m}}(fg)}{{\boldsymbol {m}}!}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{\frac {D_{\boldsymbol {k}}f}{{\boldsymbol {k}}!}}{\frac {D_{\boldsymbol {j}}g}{{\boldsymbol {j}}!}}}$.

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Für Mehrfachpotenzreihen ${\displaystyle f({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}a_{\boldsymbol {\ell }}\,{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}\;,\;g({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}b_{\boldsymbol {\ell }}\,{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}}$ gilt ${\displaystyle f({\boldsymbol {z}})\,g({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}\left(\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {\ell }}}a_{\boldsymbol {k}}\,b_{\boldsymbol {j}}\right){\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}}$.

Sind ${\displaystyle f_{1}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }a_{1\ell }z^{\ell }\;,\;\ldots \;,\;f_{n}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }a_{n\ell }z^{\ell }}$ Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt ${\displaystyle f_{1}(z)\cdots f_{n}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=\ell }a_{\boldsymbol {k}}\right)z^{\ell }}$, wobei ${\displaystyle a_{\boldsymbol {k}}=a_{1k_{1}}\cdots a_{nk_{n}}}$ ist.

Für ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=(z_{1},...,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ gilt ${\displaystyle \mathrm {e} ^{z_{1}+...+z_{n}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}}$.

Sind ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {C} ^{n}}$ und sind alle Komponenten von ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ betragsmäßig ${\displaystyle <1\,}$, so gilt ${\displaystyle ({\boldsymbol {1}}+{\boldsymbol {x}})^{\boldsymbol {\alpha }}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|\geq 0}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}\,{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}}$.

Ist ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} ^{n}}$ und sind ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {C} ^{n}}$, so gilt ${\displaystyle {{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {m}}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {j}}}}$.

Ist ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$, so gilt ${\displaystyle {|{\boldsymbol {\alpha }}| \choose m}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=m}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}}$.

In mehreren Veränderlichen ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}\,}$ lässt sich die cauchysche Integralformel

${\displaystyle {\frac {D_{\boldsymbol {k}}f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{{\boldsymbol {k}}!}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}}$

kurz schreiben als

${\displaystyle a_{\boldsymbol {k}}:={\frac {D_{\boldsymbol {k}}f({\boldsymbol {z}})}{{\boldsymbol {k}}!}}={\frac {1}{(2\pi i)^{\boldsymbol {1}}}}\oint _{\partial {\boldsymbol {U}}}{\frac {f({\boldsymbol {\xi }})}{({\boldsymbol {\xi }}-{\boldsymbol {z}})^{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {1}}}}}\,{\boldsymbol {d\xi }}}$,

wobei ${\displaystyle \partial {\boldsymbol {U}}=\partial U_{1}\times \cdots \times \partial U_{n}}$ sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung ${\displaystyle |a_{\boldsymbol {k}}|\leq {\tfrac {M}{{\boldsymbol {r}}^{\boldsymbol {k}}}}}$, wobei ${\displaystyle \textstyle M=\max _{{\boldsymbol {\xi }}\in \partial {\boldsymbol {U}}}|f({\boldsymbol {k}})|}$ ist.

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine analytische Funktion oder ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Abbildung, so kann man ${\displaystyle f}$ mit Hilfe eines Entwicklungspunktes ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ oder ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$ in einer Taylorreihe

${\displaystyle f({\boldsymbol {z}})=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {D_{\boldsymbol {k}}f({\boldsymbol {z}}_{0})}{{\boldsymbol {k}}!}}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {z}}_{0})^{\boldsymbol {k}}}$

darstellen.

Für ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle x\neq 0}$ und ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},...,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ gilt ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{{\boldsymbol {0}}\leq {\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {1}}}x\,(x+{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}})^{|{\boldsymbol {k}}|-1}\,(y-{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}})^{n-|{\boldsymbol {k}}|}}$.

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,x\,(x+ak)^{k-1}\,(y-ak)^{n-k}}$.

Letztere erhält man im Fall ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a,a,...,a)}$.

• Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.