Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen ${\displaystyle \textstyle \sigma }$-endlichen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem ${\displaystyle \textstyle \sigma }$-endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

Es seien ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \textstyle \sigma }$-endlicher Maßraum und ${\displaystyle \textstyle (B,\|\cdot \|)}$ ein Banachraum und ${\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B}$ eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:

• Für eine Menge ${\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B}$ wird der Durchmesser definiert durch ${\displaystyle \textstyle \mathrm {diam} (M):=\sup _{x,y\in M}\|x-y\|}$.
• Für eine Menge ${\displaystyle \textstyle \emptyset \neq M\subseteq B}$ bezeichnet ${\displaystyle \textstyle \mathrm {konv} (M)}$ die konvexe Hülle von ${\displaystyle \textstyle M}$.

• Eine Teilmenge ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ der ${\displaystyle \textstyle \sigma }$-Algebra ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {A}}}$ heißt abzählbare ${\displaystyle \textstyle \mu }$-Partition von ${\displaystyle \textstyle \Omega }$, wenn
  • ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ eine abzählbare Partition von ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ist und
  • jede Menge in ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ endliches Maß hat, also gilt ${\displaystyle \textstyle \forall M\in \Gamma :\mu (M)<\infty }$.

Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:

${\displaystyle \textstyle f}$ heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren ${\displaystyle \textstyle \mu }$-Partition ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ von ${\displaystyle \textstyle \Omega }$, wenn gilt: ${\displaystyle \textstyle \forall (b_{M})_{M\in \Gamma }\in \prod _{M\in \Gamma }f(M)\colon \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}}$ ist unbedingt konvergent.

Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der ${\displaystyle \textstyle \mu }$-Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser ${\displaystyle \textstyle \mu }$-Partition gesammelt:

${\displaystyle \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M):={\bigg \{}\sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}\,{\Big |}\,\forall \,M\in \Gamma :b_{M}\in f(M){\bigg \}}}$.

Man nennt ${\displaystyle \textstyle f}$ (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge ${\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ von abzählbaren ${\displaystyle \textstyle \mu }$-Partitionen gibt mit ${\displaystyle \textstyle \forall \,i\in \mathbb {N} :f}$ ist unbedingt summierbar unter ${\displaystyle \textstyle \Gamma _{i}}$ und zudem noch gilt

${\displaystyle \displaystyle \lim _{i\to \infty }\mathrm {diam} {\bigg (}{\overline {\mathrm {konv} {\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}{\bigg )}=0}$.

Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element ${\displaystyle \textstyle b}$ im Durchschnitt

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {{\rm {konv}}{\Big (}\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}}$.

Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge ${\displaystyle \textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man

${\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu :=b}$.

• Jede auf einem ${\displaystyle \textstyle \sigma }$-endlichen Maßraum definierte Bochner-integrierbare Funktion ist auch Birkhoff-integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann überein. Es gibt jedoch Birkhoff-integrierbare Funktionen, die nicht Bochner-integrierbar sind.
• Wird die Definition des Riemann-Integrals direkt mittels Riemann-Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert, so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion auch Bochner-integrierbar, aber dafür Birkhoff-integrierbar.
• Ein Beispiel für eine nicht Bochner-integrierbare aber Birkhoff-integrierbare (sogar Riemann-integrierbare) Funktion ist:

Sei ${\displaystyle \textstyle \;\ell ^{2}\left([0,1]\right):=\left\{(x_{i})_{i\in [0,1]}\in \mathbb {R} ^{[0,1]}\;{\Big |}\;\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}<\infty \right\}\,}$ versehen mit der Norm ${\displaystyle \textstyle \|(x_{i})_{i\in [0,1]}\|:={\sqrt {\left(\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}\right)}}}$, siehe allgemeiner ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$-Raum und ${\displaystyle \textstyle f\colon [0,1]\to \ell ^{2}\left([0,1]\right);\,x\mapsto \chi _{\{x\}}}$, wobei das Bild von ${\displaystyle \textstyle x}$ unter ${\displaystyle \textstyle f}$ gerade die Charakteristische Funktion von ${\displaystyle \textstyle x}$ ist.

${\displaystyle \textstyle f}$ ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre ${\displaystyle \textstyle f}$ auch ${\displaystyle \textstyle \mu }$-messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass ${\displaystyle \textstyle f}$ nicht ${\displaystyle \textstyle \mu }$-messbar ist, denn ${\displaystyle \textstyle f\left([0,1]\right)}$ ist nicht ${\displaystyle \textstyle \mu }$-fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von ${\displaystyle \textstyle f}$ ist ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {0}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ;\,x\mapsto 0}$.

• Jede Birkhoff-integrierbare Funktion ist Pettis-integrierbar.

• Das Birkhoff-Integral ist linear. Für zwei Birkhoff-integrierbare Funktionen ${\displaystyle \textstyle f,g\colon \Omega \to B}$ und ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$ ist auch ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ Birkhoff-integrierbar und es gilt:

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha f+\beta g\,{\rm {d}}\mu =\alpha \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu +\beta \int _{\Omega }g\,{\rm {d}}\mu }$.

• Für die Birkhoff-Integrierbarkeit von ${\displaystyle \textstyle f\colon \Omega \to B}$ gibt es eine relativ neue äquivalente Charakterisierung, siehe M. Potyrala:

${\displaystyle f}$ ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit ${\displaystyle \textstyle x=\int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu }$ wenn gilt

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\,\exists \,}$ eine abzählbare ${\displaystyle \textstyle \mu }$-Partition ${\displaystyle \textstyle \Gamma :f}$ ist unbedingt summierbar unter ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ und ${\displaystyle \textstyle \;\;\sup {\Big \{}\,\|y-x\|\,{\Big |}\,y\in \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M)\,{\Big \}}<\varepsilon }$.

• Es sei ${\displaystyle \textstyle D}$ ein weiterer Banachraum, ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}$ Birkhoff-integrierbar und ${\displaystyle \textstyle T\in L(B,D)}$ ein stetiger linearer Operator. Dann ist die Verkettung ${\displaystyle \textstyle T\circ f\colon \Omega \to D}$ eine Birkhoff-integrierbare Funktion und es gilt:

${\displaystyle T\left(\int _{\Omega }f\mathrm {d} \mu \right)=\int _{\Omega }T\circ f\mathrm {d} \mu }$.

• Jürgen Friedrich: Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration. Diplomica Verlag, Hamburg 2013, S. 28–46, ISBN 978-3-8428-4043-0.
• Garrett Birkhoff: Integration of Functions with Values in a Banach Space. In: Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 38, No. 2(1935), S. 357–378.
• M. Potyrala: Some Remarks about Birkhoff and Riemann-Lebesgue Integrability of Vector valued Functions. In: Tatra Mountains Mathematical Publications, 35(2007), S. 97–106.