Fórmula de Brahmagupta

En geometria, la fórmula Brahmagupta troba l'àrea de qualsevol quadrilàter donades les longituds dels costats i alguns dels angles. En la seva forma més comuna, s'obté l'àrea dels quadrilàters que es puguin inscriure en un cercle.

En la seva forma més bàsica i més fàcil de recordar, la fórmula Brahmagupta dona l'àrea d'un quadrilàter amb costats de longituds a , b , c , d , sempre que el quadrilàter sigui cíclic (els seus quatre vèrtexs estiguin sobre una mateixa circumferència):

${\displaystyle Area={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

on s , és el semiperímetre, així:

${\displaystyle S={\frac {a+b+c+d}{2}}\cdot }$

${\displaystyle S-a={\frac {-a+b+c+d}{2}}}$

${\displaystyle S-b={\frac {a-b+c+d}{2}}}$

${\displaystyle S-c={\frac {a+b-c+d}{2}}}$

${\displaystyle S-d={\frac {a+b+c-d}{2}}}$

Aquesta fórmula generalitza la fórmula d'Heró per a l'àrea d'un triangle. De fet, la fórmula d'Heró poden derivar de la fórmula de Brahmagupta al permetre acostar-se a un valor de zero. Un triangle pot ser considerat com un quadrilàter amb un costat de longitud zero. Des d'aquesta perspectiva, com d tendeix a zero, un quadrilàter cíclic convergeix en un triangle cíclic (tots els triangles són cíclics), i la fórmula de Brahmagupta convergeix en la fórmula d'Heró.

L'afirmació que l'àrea del quadrilàter és donada per la fórmula de Brahmagupta és equivalent a l'afirmació que és igual a

${\displaystyle {\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}-8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }$

fórmula de Brahmagupta pot ser vista com una fórmula de mediació longitud dels costats, sinó que també dona a la zona com una fórmula en l'altura des del centre cap als costats, encara que si el quadrilàter no conté el centre, l'altitud al costat més llarg ha de ser presa com a negativa.

Àrea de la Zona quadrilàter cíclic = Àrea de ${\displaystyle \triangle ADB}$ Àrea de ${\displaystyle \triangle BDC}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A{\frac {1}{2}}rs\sin C.}$

Però des ${\displaystyle ABCD}$ és un quadrilàter cíclic, ${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}$ Per tant, ${\displaystyle \sin A=\sin C.}$ Per Tant

${\displaystyle {\mbox{Àrea}}={\frac {1}{2}}pq\sin A{\frac {1}{2}}rs\sin A}$

${\displaystyle ({\mbox{Àrea}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pqrs)^{2}}$

${\displaystyle 4({\mbox{Àrea}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pqrs)^{2}\,}$

${\displaystyle 4({\mbox{Àrea}})^{2}=(pqrs)^{2}-\cos ^{2}A(pqrs)^{2}.\,}$

Aplicant el teorema del cosinus per ${\displaystyle \triangle ADB}$ i ${\displaystyle \triangle BDC}$ i igualant les expressions per al costat ${\displaystyle DB,}$, tenim

${\displaystyle P^{2}q^{2}-2pq\cos A=r^{2}s^{2}-2rs\cos C.\,}$

Substituint ${\displaystyle \cos C=-\cos A\,}$ (ja que els angles són complementaris) i reordenant, hem de

${\displaystyle 2\cos A(pqrs)=p^{2}q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}$

Substituint aquesta expressió en l'equació per a l'àrea,

${\displaystyle 4({\mbox{Àrea}})^{2}=(pqrs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16({\mbox{Àrea}})^{2}=4(pqrs)^{2}-(p^{2}q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,}$

que és de la forma ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ i per tant es pot escriure en la forma ${\displaystyle (ab)(ab)}$ com,

${\displaystyle (2(pqrs)p^{2}q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pqrs)-p^{2}-q^{2}r^{2}s^{2})\,}$

${\displaystyle =((Pq)^{2}-(rs)^{2})((rs)^{2}-(pq)^{2})\,}$

${\displaystyle =(Pqr-s)(piqs-r)(prs-q)(qrs-p).\,}$

Introduint ${\displaystyle S={\frac {PQRS}{2}},}$

${\displaystyle 16({\mbox{Àrea}})^{2}=16(Sp)(Sq)(Sr)(Ss).\,}$

Prenent l'arrel quadrada, obtenim

${\displaystyle {\mbox{Àrea}}={\sqrt {(Sp)(Sq)(Sr)(Ss)}}.}$

En el cas dels quadrilàters cíclics no, la fórmula de Brahmagupta pot estendre's en considerar les mesures de dos angles oposats del quadrilàter

${\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$

on θ és la meitat de la suma de dos angles oposats. (La parella és irrellevant: si es donen els altres dos angles, la meitat de la seva suma és el suplement de θ. Com que cos (180 ° - θ) =-cosq, tenim cos ² (180 ° - θ) = cos ² θ.) Es desprèn d'això que l'àrea d'un quadrilàter cíclic és l'àrea màxima possible per a qualsevol quadrilàter per unes longituds de costats donades.

Aquesta fórmula general es coneix de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord amb MathWorld aquesta forma es deu, sembla, a Coolidge, l'expressió de Bretschneider va ser

${\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}$

on p i q són les longituds de les diagonals del quadrilàter. Aquesta fórmula també demostra el teorema de Ptolemeu generalitzat.

És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, d'angles inscrits) que els angles oposats d'un quadrilàter sumen 180 °. En conseqüència, en el cas d'un quadrilàter inscrit, θ = 90 °, on el terme

${\displaystyle Abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,}$

donant la forma bàsica de la fórmula de Brahmagupta.

• Fórmula d'Heró, per l'àrea d'un triangle.
• Teorema de Pitàgores, per als costats d'un triangle.
• Teorema de Ptolemeu, que relaciona els costats i diagonals d'un quadrilàter cíclic.

• Teorema de Brahmagupta
• Matemàtiques a l'Índia

• Weisstein, Eric W., «Brahmagupta's formula» a MathWorld (en anglès).
• Fórmula d'Heró i Brahmagupta