Dalam matematika, teorema basis Hilbert mengatakan bahwa setiap ideal dari suatu gelanggang polinomial atas lapangan memiliki himpunan pembangkit terhingga. Dalam aljabar modern, gelanggang yang idealnya memiliki sifat demikian dinamakan gelanggang Noether. Setiap lapangan dan gelanggang dari bilangan bulat adalah gelanggang Noether. Dengan demikian, teorema basis Hilbert dapat diperumum dan dinyatakan kembali, bahwa setiap gelanggang polinomial atas gelanggang Noether juga merupakan gelanggang Noether.

Pernyataan dari teorema tersebut dicetuskan dan dibuktikan oleh David Hilbert pada tahun 1890 dalam artikel penemuan terbarunya tentang teori invarian. Pada artikelnya, Hilbert menyelesaikan beberapa masalah mengenai invarian, dan juga membuktikan two teori dasar polinomial berupa Nullstellensatz (teorema tentang akar polinomial) dan teorema sygyzy (tentang relasi). Ketiga teorema tersebut merupakan awal mula dari interpretasi geometri aljabar dengan menggunakan aljabar komutatif. Lebih spesifik lagi, teorema basis Hilbert menyiratkan bahwa setiap himpunan aljabar adalah irisan dari terhingga banyaknya hypersurface [en].^[1]

Aspek-aspek lain dalam artikel tersebut memberikan dampak yang besar pada matematika di abad ke-20, dengan penggunaan metode non-konstruktif yang bersifat sistematik. Sebagai contoh, teorema basis mengatakan bahwa setiap ideal mempunyai himpunan pembangkit terhingga, tetapi pembuktian awalnya tidak menyediakan cara menghitungnnya untuk suatu ideal yang lebih spesifik. Pendekatan tersebut membuat para matematikawan terheran-heran pada kala itu. Versi pertama artikel tersebut ditolak oleh Paul Gordan, matematikawan yang ahli di bidang invariant, yang mengomentari, "This is not mathematics. This is theology."^[2] Ia lantas mengakui, "I have convinced myself that even theology has its merits."^[3]

1. ^ Hilbert, David (1890). "Über die Theorie der algebraischen Formen". Mathematische Annalen. 36 (4): 473–534. doi:10.1007/BF01208503. ISSN 0025-5831. S2CID 179177713.
2. ^ Reid 1996, hlm. 34.
3. ^ Reid 1996, hlm. 37.

• Cox, Little, and O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, 1997.
• Reid, Constance. (1996). Hilbert. New York: Springer. ISBN 0-387-94674-8. The definitive English-language biography of Hilbert.
• Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Edisi Third), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5