Grupoid

Dalam matematika, terutama dalam teori kategori dan teori homotopi, grupoid (disebut juga grupoid Brandt atau grup virtual ) menggeneralisasi pengertian grup dalam beberapa cara yang setara. Grupoid dapat dilihat sebagai:

• Grup dengan fungsi parsial menggantikan operasi biner;
• Kategori dimana setiap morfisme invers. Kategori dilihat sebagai ditambah dengan operasi uner, yang disebut invers dengan analogi teori grup.^[1] Grupoid dimana terdapat satu objek adalah grup biasa.

Dengan pengetikan dependen, kategori secara umum dilihat sebagai jenis monoid, dan demikian pula, grupoid dilihat sebagai grup diketik. Morfisme satu dari satu objek ke objek lain, dan membentuk keluarga tipe dependen, sehingga morfisme dapat ditulis${\displaystyle g:A\rightarrow B}$, ${\displaystyle h:B\rightarrow C}$. Komposisi kemudian menjadi fungsi total: ${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$, maka ${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$.

Kasus khusus meliputi:

• Setoid: himpunan dengan relasi ekivalensi,
• himpunan-G : himpunan dengan grup aksi ${\displaystyle G}$.

Grupoid digunakan untuk bernalar tentang objek geometris dengan lipatan. Heinrich Brandt (1927) memperkenalkan grupoid secara implisit melalui semigrup Brandt.^[2]

Grupoid adalah satu himpunan ${\displaystyle G}$ dengan operasi uner${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ dan fungsi parsial ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$ . * bukan operasi biner karena tidak harus ditentukan untuk semua pasangan elemen ${\displaystyle G}$. Kondisi yang tepat di bawahnya ${\displaystyle *}$ didefinisikan tidak diartikulasikan dan berbeda menurut situasi.

${\displaystyle \ast }$ dan ⁻¹ memiliki sifat aksiomatik berikut: Untuk semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle G}$,

1. Asosiatif: Jika ${\displaystyle a*b}$ dan ${\displaystyle b*c}$ didefinisikan, lalu ${\displaystyle (a*b)*c}$ dan ${\displaystyle a*(b*c)}$ didefinisikan ekuivalensi. Sebaliknya, jika ${\displaystyle (a*b)*c}$ dan ${\displaystyle a*(b*c)}$ didefinisikan, maka keduanya pula${\displaystyle a*b}$ dan ${\displaystyle b*c}$ sebaik ${\displaystyle (a*b)*c}$ = ${\displaystyle a*(b*c)}$ .
2. Invers: ${\displaystyle a^{-1}*a}$ dan ${\displaystyle a*{a^{-1}}}$ harus ditentukan.
3. Identitas: Jika ${\displaystyle a*b}$ didefinisikan, lalu ${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$, dan ${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$. (Dua aksioma sebelumnya sudah menunjukkan bahwa ekspresi ini didefinisikan dan tidak ambigu.)

Dua sifat mudah dengan aksioma berikut:

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ ,
• Jika ${\displaystyle a*b}$ didefinisikan ke ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$.^[3]

Grupoid adalah kategori kecil dimana morfisme adalah isomorfisme, yaitu invertibel.^[1] Lebih tepatnya, grupoid G adalah:

• Satu himpunan G ₀ dari objek;
• Untuk setiap pasangan objek x dan y di G ₀, terdapat himpunan G( x, y ) morfisme (atau panah) dari x ke y . Kami menulis f : x → y untuk menunjukkan bahwa f adalah elemen dari G ( x, y ).
• Untuk setiap objek x, elemen yang ditentukan ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$ dari G ( x, x );
• Untuk setiap tiga objek x, y, dan z, fungsi ${\displaystyle \mathrm {komp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$ ;
• Untuk setiap pasangan objek x, y fungsi ${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$ ;

untuk setiap f : x → y, g : y → z, dan h : z → w :

• ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$ dan ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$ ;
• ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$ ;
• ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$ dan ${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$ .

Jika f merupakan unsur dari G( x, y ) maka x disebut sumber f, ditulis s( f ), dan y disebut target f, ditulis t( f).

Secara lebih umum, seseorang dapat mempertimbangkan objek grupoid dalam kategori arbitrer yang menerima produk serat hingga.

Definisi aljabar dan teori kategori adalah ekuivalen, sebagai contoh di atas tunjukkan. Diberikan grupoid dalam pengertian teori-kategori, misalkan G adalah satuan disjoin dari semua himpunan G( x, y ) (yaitu himpunan morfisme dari x ke y). Kemudian ${\displaystyle \mathrm {komp} }$ dan ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ menjadi operasi parsial pada G, dan ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ sebenarnya akan ditentukan dimana. Mendefinisikan ∗ menjadi ${\displaystyle \mathrm {komp} }$ dan ⁻¹ menjadi ${\displaystyle \mathrm {inv} }$, memberikan grupoid dalam arti aljabar. Referensi eksplisit ke G ₀ (dan karena ${\displaystyle \mathrm {id} }$) bisa dijatuhkan.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen ${\displaystyle \sim }$ pada elemen ${\displaystyle a\sim b}$ iff a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹. Misalkan G ₀ adalah himpunan kelas ekiuvalensi ${\displaystyle \sim }$, yaitu ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$ . Maka a ∗ a ⁻¹ dengan ${\displaystyle 1_{x}}$ jika ${\displaystyle a\in x}$ dengan ${\displaystyle x\in G_{0}}$.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen ${\displaystyle \sim }$ pada elemen ${\displaystyle a\sim b}$ iff a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹. Misalkan G ₀ adalah himpunan kelas ekiuvalensi ${\displaystyle \sim }$, yaitu ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$ . Maka a ∗ a ⁻¹ dengan ${\displaystyle 1_{x}}$ jika ${\displaystyle a\in x}$ dengan ${\displaystyle x\in G_{0}}$.

Sekarang jelaskan ${\displaystyle G(x,y)}$ sebagai himpunan dari semua elemen f sedemikian rupa ${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$. Diberikan ${\displaystyle f\in G(x,y)}$ dan ${\displaystyle g\in G(y,z),}$ komposit didefinisikan sebagai ${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$. Untuk melihat bahwa ini didefinisikan dengan baik, amati ${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$ dan ${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$, begitu pula ${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$ . Morfisme identitas pada x kemudian ${\displaystyle 1_{x}}$, dan kebalikan teori kategori dari f adalah f ⁻¹ .

Himpunan dalam definisi di atas dapat diganti dengan kelas, seperti yang umumnya terjadi dalam teori kategori.

Diberikan grupoid G, grup verteks atau grup isotropi atau grupobjek di G adalah himpunan bagian dari bentuk G ( x, x ), dimana x adalah sembarang objek dari G. Dengan mudah dari aksioma di atas bahwa ini memang kelompok, karena setiap pasangan elemen dapat disusun dan invers berada dalam kelompok titik yang sama.

Sebuah subgrupoid adalah subkategori yang merupakan grupoid. Morfisme grupoid sebuah fungsi antara dua grupoid (teori-kategori). Kategori dimana objek grupoid dan morfismenya adalah morfisme groupoid disebut kategori grupoid, atau kategori grupoids, dilambangkan dengan Grpd.

Kategori dengan kategori kecil, penutupan Kartesius. Artinya, dengan grupoids ${\displaystyle H,K}$ sebuah grupoid ${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$ dimana objeknya adalah morfisme ${\displaystyle H\to K}$ dan panahnya merupakan padanan alami dari morfisme. Maka, jika ${\displaystyle H,K}$ adalah grup, panah tersebut adalah konjugasi morfisme. Hasil utamanya adalah untuk grupoids ${\displaystyle G,H,K}$ bijeksi alami.

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

Hasil ini bahkan jika semua grupoids ${\displaystyle G,H,K}$ adalah grup.

Jenis morfisme tertentu dari grupoids adalah interist. Morfisme ${\displaystyle p:E\to B}$ grupoids disebut fibrasi jika untuk setiap objek ${\displaystyle x}$ dari ${\displaystyle E}$ dan setiap morfisme ${\displaystyle b}$ dari ${\displaystyle B}$ ke ${\displaystyle p(x)}$ adalah morfisme ${\displaystyle e}$ dari ${\displaystyle E}$ mulai dari ${\displaystyle x}$ seperti yang ${\displaystyle p(e)=b}$ . Fibrasi disebut kovergelanggang morfisme atau kovergelanggang grupoid jika ${\displaystyle e}$ adalah unik. Kovergelanggang morfisme dari grupoids sangat berguna karena dapat digunakan untuk memodelkan peta.^[4]

Bahwa kategori morfisme kovergelanggang grupoid tertentu ${\displaystyle B}$ adalah ekuivalen dengan kategori aksi grupoid tersebut ${\displaystyle B}$ di antara himpunan.

Diberikan ruang topologi ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle G_{0}}$ adalah himpunan ${\displaystyle X}$. Morfisme dari inti ${\displaystyle p}$ ke titik ${\displaystyle q}$ adalah kelas kesetaraan dari jalur kontinu dari ${\displaystyle p}$ untuk ${\displaystyle q}$, dengan dua jalur ekuivalen jika homotopi. Dua morfisme disusun dengan jalur pertama, maka kedua; ekuivalen homotopi bahwa komposisi bersifat asosiatif. Grupoid disebut grupoid fundamental dari ${\displaystyle X}$, dilambangkan ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ (atau terkadang, ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ ).^[5] Grup fundamental biasa ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ kemudian grup puncak untuk titik tersebut ${\displaystyle x}$. Untuk ruang yang terhubung dengan jalur, grupoid fundamental dan grup fundamental bertepatan, dan operasi komposisi ditentukan untuk semua pasangan kelas kesetaraan.

Perpanjangan penting dari gagasan ini adalah dengan mempertimbangkan grupoid fundamental ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ dimana ${\displaystyle A\subset X}$ adalah himpunan "titik dasar" yang dipilih. Hanya mempertimbangkan jalur yang memiliki titik akhir ${\displaystyle A}$ . ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ adalah sub-grupoid dari ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$. Himpunan ${\displaystyle A}$ dapat dipilih sesuai dengan geometri situasi yang dihadapi.

Jika ${\displaystyle X}$ adalah himpunan dengan relasi ekuivalen dilambangkan dengan infiks ${\displaystyle \sim }$, maka grupoid yang "mewakili" relasi ekuivalensi dibentuk sebagai berikut:

• Objek grupoid adalah elemen ${\displaystyle X}$;
• Untuk dua elemen apa pun ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle X}$, ada satu morfisme dari ${\displaystyle x}$ untuk ${\displaystyle y}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x\sim y}$ .

Jika grup ${\displaystyle G}$ di lokasi ${\displaystyle X}$, maka kita dapat membentuk aksi grupoid (atau transformasi grupoid ) yang merepresentasikan tindakan grup ini sebagai berikut:

• Objek adalah elemen ${\displaystyle X}$ ;
• Untuk dua elemen ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle X}$, morfisme dari ${\displaystyle x}$ untuk ${\displaystyle y}$ sesuai dengan elemen ${\displaystyle g}$ dari ${\displaystyle G}$ dengan ${\displaystyle gx=y}$ ;
• Komposisi morfisme menafsirkan operasi biner ${\displaystyle G}$ .

Lebih jelasnya, aksi grupoid adalah kategori kecil dengan ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$ dan ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$ dengan peta sumber target ${\displaystyle s(g,x)=x}$ dan ${\displaystyle t(g,x)=gx}$ . Dilambangkan dengan ${\displaystyle G\ltimes X}$ (atau ${\displaystyle X\rtimes G}$ ). Perkalian (atau komposisi) di grupoid kemudian ${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$ ditentukan dengan ${\displaystyle y=gx}$ .

Untuk ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$, grup puncak terdiri dari ${\displaystyle (g,x)}$ dengan ${\displaystyle gx=x}$, merupakan subgrup isotropi di ${\displaystyle x}$ untuk aksi diberikan grup simpul (juga disebut grup isotropi).

Cara lain untuk mendeskripsikan himpunan-${\displaystyle G}$ adalah kategori funktor ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Himpunan} ]}$, dimana ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ adalah grupoid (kategori) dengan satu elemen dan isomorfik ke grup ${\displaystyle G}$. Memang, setiap funktor ${\displaystyle F}$ dari kategori mendefinisikan satu himpunan ${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$ dan untuk setiap ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$ (yaitu untuk setiap morfisme dalam ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ) dari bijeksi ${\displaystyle F_{g}}$ : ${\displaystyle X\to X}$ . Struktur kategoris dari funktor ${\displaystyle F}$ meyakinkan kami bahwa ${\displaystyle F}$ mendefinisikan aksi-${\displaystyle G}$ di lokasi syuting ${\displaystyle G}$. Funktor (unik) diwakili ${\displaystyle F}$ : ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ → ${\displaystyle \mathrm {Himpunan} }$ adalah representasi Cayley dari ${\displaystyle G}$. Faktanya, fungsi isomorfik ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$ dan ${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$ ke himpunan ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$ menurut definisi "himpunan" ${\displaystyle G}$ dan morfisme ${\displaystyle g}$ dari ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ (yaitu elemen ${\displaystyle g}$ dari ${\displaystyle G}$) ke permutasi ${\displaystyle F_{g}}$ himpunan ${\displaystyle G}$. Menyimpulkan dari embedding Yoneda grup ${\displaystyle G}$ isomorfik ke grup ${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$, Subgrup dari grup permutasi ${\displaystyle G}$.

Pertimbangkan himpunan hingga ${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$, membentuk aksi grup ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ aksi ${\displaystyle X}$ dengan membuat setiap bilangan menjadi negatif, maka ${\displaystyle -2\mapsto 2}$ dan ${\displaystyle 1\mapsto -1}$. Grupoid hasil bagi ${\displaystyle [X/G]}$ adalah himpunan kelas kesetaraan dari aksi grup ${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$, dan ${\displaystyle [0]}$ aksi grup ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ di atasnya.

Dalam ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$, grup hingga dimana ${\displaystyle G}$ yang memetakan ke ${\displaystyle GL(n)}$ diberikan aksi grup ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ (karena ini adalah grup automorfisme). Kemudian, grupoid hasil bagi dibentuk ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$, yang memiliki satu titik dengan stabilizer ${\displaystyle G}$. Contoh membentuk dasar teori orbifold. Keluarga orbifold lain yang umum dipelajari adalah ruang proyektif berbobot ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$ dan subruangnya, dengan orbifold Calabi-Yau.

Diberikan diagram grupoid dengan morfisme grupoid

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

dimana ${\displaystyle f:X\to Z}$ dan ${\displaystyle g:Y\to Z}$, membentuk grupoid ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ objeknya tiga kali lipat ${\displaystyle (x,\phi ,y)}$, dimana ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$, ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$, dan ${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$ di ${\displaystyle Z}$. Morfisme dapat diartikan sebagai sepasang morfisme ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ dimana ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ dan ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ untuk tiga kali lipat ${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$, diagram komutatif di ${\displaystyle Z}$ dari ${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$, ${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$ dan ${\displaystyle \phi ,\phi '}$.^[6]

Kompleks dua istilah

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

objek dalam kategori Abelian komkret digunakan untuk membentuk grupoid. Objek himpunan ${\displaystyle C_{0}}$ dan panah ${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$ dimana morfisme sumber proyeksi di atas ${\displaystyle C_{0}}$ sedangkan morfisme target adalah penambahan proyeksi ke atas ${\displaystyle C_{1}}$ disusun dengan ${\displaystyle d}$ dan proyeksi ke ${\displaystyle C_{0}}$. Artinya, diberikan ${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$ dirumuskan

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}}$

Tentu saja, jika kategori abelian adalah kategori berkas gandum yang koheren pada suatu skema, maka konstruksi ini dapat digunakan untuk membentuk lembaran awal groupoids.

Sementara teka-teki seperti Kubus Rubik dapat dimodelkan menggunakan teori grup (lihat grup Kubus Rubik ), teka-teki tertentu lebih dimodelkan sebagai grupoids.^[7]

Transformasi dari lima belas teka-teki membentuk groupoid (bukan grup, karena tidak semua gerakan dapat disusun).^[8][9][10] Grupoid bekerja dengan konfigurasi.

Grupoid Mathieu adalah grupoid diperkenalkan oleh John Horton Conway bekerja pada 13 titik sedemikian rupa sehingga unsur-unsur yang menetapkan titik membentuk salinan dari grup Mathieu M₁₂.

Struktur grup
	Totalitasα	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Jika sebuah grupoid memiliki satu objek, maka himpunan morfismenya membentuk sebuah grup. Menggunakan definisi aljabar, grupoid seperti itu secara harfiah hanyalah sebuah grup.^[11] Banyak konsep teori grup digeneralisasi menjadi grupoids, dengan gagasan dari functor menggantikan yang dari grup homomofisme.

Setiap grupoid koneksi yaitu, dimana dua objek terhubung oleh setidaknya satu morfisme, isomorfik ke aksi grupoid (seperti yang didefinisikan di atas) ${\displaystyle (G,X)}$. Dengan keterhubungan, hanya akan ada satu orbit di bawah aksi. Jika grupoid tidak terhubung, maka isomorfik gabungan grupoids terputus dari tipe di atas (dengan grup yang berbeda. ${\displaystyle G}$ dan himpunan ${\displaystyle X}$ untuk setiap komponen yang terhubung).

Perhatikan bahwa isomorfisme yang dijelaskan di atas tidak unik, dan tidak ada pilihan alami. Memilih isomorfisme semacam itu untuk groupoid yang terhubung pada dasarnya sama dengan memilih satu objek ${\displaystyle x_{0}}$, grup isomorfisme ${\displaystyle h}$ dari ${\displaystyle G(x_{0})}$ untuk ${\displaystyle G}$, dan untuk ${\displaystyle x}$. Selain ${\displaystyle x_{0}}$, morfisme dalam ${\displaystyle G}$ dari ${\displaystyle x_{0}}$ untuk ${\displaystyle x}$.

Dalam istilah teori-kategori, setiap komponen yang terhubung dari groupoid adalah ekuivalen (tetapi tidak isomorfik) dengan grupoid dengan satu objek, yaitu satu grup. Jadi grupoid dengan rkuivalen multi himpunan grup yang tidak terkait. Dengan kata lain, untuk ekuivalen dan bukan isomorfisme, menentukan himpunan ${\displaystyle X}$, hanya grup ${\displaystyle G.}$ Sebagai contoh,

• Grupoid fundamental dari ${\displaystyle X}$ dengan himpunan ekuivalen grup fundamental dari setiap komponen koneksi ke jalur ${\displaystyle X}$, tetapi isomorfisme membutuhkan penetapan himpunan titik di setiap komponen;
• Himpunan ${\displaystyle X}$ dengan relasi ekuivalen ${\displaystyle \sim }$ (sebagai grupoid) dengan satu salinan dari grup trivial untuk setiap kelas kesetaraansi, tetapi isomorfisma membutuhkan penspesifikasian apa setiap kelas ekivalen:
• Himpunan ${\displaystyle X}$ dengan aksi grup ekuivalen ${\displaystyle G}$(sebagai grupoid) dengan satu salinan ${\displaystyle G}$ untuk setiap orbit aksi, tetapi isomorfisme membutuhkan penentuan himpunan setiap orbit.

Grupoid menjadi himpunan grup saja kehilangan beberapa informasi, bahkan dari sudut pandang teori-kategori, karena itu tidak wajar. Jadi, ketika grupoid dari segi struktur lain, contoh di atas, akan membantu untuk mempertahankan grupoid penuh. Jika, dengan cara untuk melihat masing-masing ${\displaystyle G(x)}$ dalam hal satu grup, dan pilihan ini bisa berubah. Dalam contoh dari topologi, Anda harus membuat pilihan jalur yang koheren (atau kelas ekivalensi jalur) dari setiap titik ${\displaystyle p}$ ke setiap poin ${\displaystyle q}$ di komponen yang terhubung ke jalur yang sama.

Sebagai contoh yang lebih mencerahkan, klasifikasi grupoids dengan satu endomorfisme tidak direduksi menjadi pertimbangan teoritis grup murni. Hal ini dengan fakta bahwa klasifikasi ruang vektor dengan satu endomorfisme bersifat nontrivial.

Morfisme grupoids dalam jenis grup: misalnya, fibrasi, kovering morfisme, morfisme universal, dan morfisme hasil bagi . Jadi subgrup ${\displaystyle H}$ dari sebuah grup ${\displaystyle G}$ menghasilkan aksi ${\displaystyle G}$ di kohimpunan dari ${\displaystyle H}$ di ${\displaystyle G}$ dan karenanya morfisme yang menutupi ${\displaystyle p}$ dari, ${\displaystyle K}$ untuk ${\displaystyle G}$, dimana ${\displaystyle K}$ adalah grupoid dengan grup verteks isomorfik ${\displaystyle H}$. Dengan cara ini, presentasi grup ${\displaystyle G}$ dapat "diangkat" ke presentasi grupoid ${\displaystyle K}$, dan ini adalah cara yang berguna untuk memperoleh informasi tentang presentasi subgrup ${\displaystyle H}$ . Untuk informasi lebih lanjut, lihat buku oleh Higgins dan oleh Brown dalam Referensi.

• Grpd adalah sifat kompleks dan kompleks
• Grpd adalah kategori tertutup kartesius

Inklusi ${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Kat} }$ memiliki adjoint kiri dan kanan:

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Kat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Kat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Kore} (C))}$

Maka, ${\displaystyle C[C^{-1}]}$ menunjukkan lokalisasi kategori yang membalikkan setiap morfisme, dan ${\displaystyle \mathrm {Kore} (C)}$ menunjukkan subkategori semua isomorfisme.

Fungsi saraf ${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {hHimpunan} }$ embed Grpd sebagai subkategori kompleks dari kategori himpunan sederhana. Saraf grupoid selalu Kan kompleks.

Saraf memiliki adjoin kiri

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {hHimpunan} }(X,N(G))}$

Maka, ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ menunjukkan grupoid fundamental dari himpunan sederhana X.

Terdapat struktur tambahan yang dapat diturunkan dari grupoid internal ke kategori grupoids, double-groupoids.^[12][13] Karena Grpd adalah kategori 2, objek membentuk kategori 2 daripada kategori 1 karena terdapat struktur tambahan. Pada dasarnya, ini adalah grupoids ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$ dengan funktors

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

dan embedding yang diberikan oleh sebuah fungsi identitas

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Salah satu cara untuk memikirkan tentang 2-grupoids ini adalah objek, morfisme, dan persegi yang dapat disusun bersama secara vertikal dan horizontal. Misalnya, persegi yang diberikan

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$ dan ${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

dengan ${\displaystyle a}$ morfisme yang sama, digabungkan secara vertikal memberikan diagram

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

yang dapat diubah menjadi persegi lain dengan menyusun panah vertikal. Tedapat hukum komposisi serupa untuk lampiran persegi horizontal.

Saat mempelajari objek geometris, grupoids dengan beberapa struktur diferentiabel, mengubah menjadi grupoid Lie. Dipelajari dalam istilah aljabroid Lie, dalam analogi relasi antara grup Lie dan aljabar Lie .

• Grupoid-∞
• Grup-2
• Teori tipe homotopi
• Kategori invers
• Aljabar grupoid (jangan disamakan dengan aljabarik grupoid )
• Aljabroid-R

• Brandt, H (1927), "Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes", Mathematische Annalen, 96 (1): 360–366, doi:10.1007/BF01209171 
• Brown, Ronald, 1987, " Dari kelompok ke groupoids: survei singkat ," Bull. Matematika London. Soc. 19 : 113-34. Meninjau sejarah groupoids hingga tahun 1987, dimulai dengan karya Brandt pada bentuk kuadrat. Versi yang dapat diunduh memperbarui banyak referensi.
• —, 2006. Topologi dan groupoids. Bookurge. Edisi revisi dan diperpanjang dari buku yang sebelumnya diterbitkan pada tahun 1968 dan 1988. Groupoids diperkenalkan dalam konteks aplikasi topologi mereka.
• —, Teori kelompok berdimensi lebih tinggi Menjelaskan bagaimana konsep groupoid telah menyebabkan groupoid berdimensi lebih tinggi, memiliki aplikasi dalam teori homotopi dan dalam kohomologi kelompok. Banyak referensi.
• Dicks, Warren; Ventura, Enric (1996), The group fixed by a family of injective endomorphisms of a free group, Mathematical Surveys and Monographs, 195, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0564-0 
• Dokuchaev, M.; Exel, R.; Piccione, P. (2000). "Partial Representations and Partial Group Algebras". Journal of Algebra. Elsevier. 226: 505–532. arXiv:math/9903129 . doi:10.1006/jabr.1999.8204. ISSN 0021-8693. 
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, teori Galois. Universitas Cambridge Tekan. Menunjukkan bagaimana generalisasi teori Galois mengarah pada groupoids Galois .
• Cannas da Silva, A., dan A. Weinstein, Model Geometris untuk Aljabar Nonkomutatif. Terutama Bagian VI.
• Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, " Dinamika jaringan nonlinier: formalisme groupoid ", Bull. Amer. Matematika. Soc. 43 : 305-64
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Groupoid", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Higgins, PJ, "Groupoid fundamental dari grafik kelompok ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145—149.
• Higgins, PJ dan Taylor, J., "Groupoid fundamental dan kompleks persilangan homotopy dari ruang orbit ", dalam teori Kategori (Gummersbach, 1981), Catatan Kuliah dalam Matematika., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115—122.
• Higgins, PJ, 1971. Kategori dan groupoids. Catatan Van Nostrand dalam Matematika. Diterbitkan ulang dalam Cetak Ulang dalam Teori dan Aplikasi Kategori, No. 7 (2005) hal. 1–195; dapat diunduh secara bebas . Pengenalan substansial untuk teori kategori dengan penekanan khusus pada groupoids. Mempresentasikan aplikasi groupoid dalam teori grup, misalnya untuk generalisasi teorema Grushko, dan dalam topologi, misalnya groupoid fundamental .
• Mackenzie, KCH, 2005. Teori umum dari Lie groupoids dan Lie algebroids. Universitas Cambridge Tekan.
• Weinstein, Alan, " Groupoids: pemersatu simetri internal dan eksternal — Sebuah tur melalui beberapa contoh. " Juga tersedia dalam Postscript., Pemberitahuan AMS, Juli 1996, hal. 744–752.
• Weinstein, Alan, " The Geometry of Momentum " (2002)
• RT Zivaljevic. "Groupoids dalam kombinatorika — aplikasi teori kesimetrian lokal". Dalam kombinatorika Aljabar dan geometris, volume 423 dari Contemp. Matematika ., 305–324. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI (2006)
• fundamental groupoid di nLab
• core di nLab