Bagian dalam (topologi)

Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam^[1] (atau interior^[1]) dari suatu himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada ruang topologis ${\displaystyle X}$ adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari ${\displaystyle H}$ yang terbuka pada ${\displaystyle X}$. Suatu titik yang berada pada interior dari ${\displaystyle H}$ disebut sebagai titik interior (atau titik dalam^[2][3]) dari ${\displaystyle H}$.

Interior dari ${\displaystyle H}$ merupakan komplemen dari penutup komplemen dari ${\displaystyle H}$. Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.

Bagian luar^[4] (atau eksterior^[4]) dari himpunan ${\displaystyle H}$ adalah komplemen dari penutup ${\displaystyle H}$, yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).

Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.

Jika ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka ${\displaystyle x}$ dikatakan sebagai titik interior dari ${\displaystyle H}$ jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada ${\displaystyle x}$ dan termuat sepenuhnya pada ${\displaystyle H}$. Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.

Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada suatu ruang metrik ${\displaystyle X}$ dengan metrik ${\displaystyle d}$. Titik ${\displaystyle x}$ dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil ${\displaystyle r>0}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle a\in H}$ ketika jarak ${\displaystyle d(x,\,a)<r}$.

Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika ${\displaystyle H}$ merupakan himpunan bagian dari ruang topologis ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle x}$ dikatakan sebagai titik interior dari ${\displaystyle H}$ pada ${\displaystyle X}$ jika ${\displaystyle x}$ termuat pada suatu himpunan terbuka dari ${\displaystyle X}$ yang seluruhnya termuat pada ${\displaystyle H}$. Secara ekuivalen, ${\displaystyle x}$ adalah titik interior dari ${\displaystyle H}$ jika ${\displaystyle H}$ merupakan persekitaran dari ${\displaystyle x}$.

Interior dari himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada suatu ruang topologis ${\displaystyle X}$, ditulis sebagai ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}$ atau ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ atau ${\displaystyle H^{\circ }}$, dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:

1. ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari ${\displaystyle X}$ yang termuat pada ${\displaystyle H}$.
2. ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari ${\displaystyle X}$ yang termuat pada ${\displaystyle H}$.
3. ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ adalah himpunan semua titik interior dari ${\displaystyle H}$.

Jika ruang ${\displaystyle X}$ dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek ${\displaystyle \operatorname {int} H}$ lebih diminati daripada ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}$.

1. Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
2. Dalam setiap ruang ${\displaystyle X}$, jika ${\displaystyle H\subseteq X}$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}$.
3. Jika ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (dengan topologi baku), maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left(0,\,1\right)}$ sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }$.
4. Jika ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq 1\right\}\right)=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|<1\right\}}$.
5. Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.

Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:

1. Jika digunakan topologi limit bawah, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right)}$.
2. Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right]}$.
3. Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ itu sendiri, maka ${\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\varnothing }$.

Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:

1. Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
2. Dalam setiap ruang takdiskret ${\displaystyle X}$, oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah ${\displaystyle \varnothing }$ dan ${\displaystyle X}$ itu sendiri, maka ${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ dan untuk sembarang ${\displaystyle H\subset X}$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} H=\varnothing }$.

Diberikan suatu ruang topologis ${\displaystyle \left(X,\,T\right)}$. Diambil sembarang ${\displaystyle A\subseteq X}$ dan ${\displaystyle B\subseteq X}$.

1. ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ merupakan himpunan terbuka pada ${\displaystyle X}$.
2. Jika ${\displaystyle A}$ terbuka pada ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle A\subseteq B}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} B}$.
3. ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ merupakan himpunan bagian terbuka dari ${\displaystyle A}$ ketika ${\displaystyle A}$ diberikan topologi subruang.
4. ${\displaystyle A}$ merupakan himpunan bagian terbuka dari ${\displaystyle X}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle A=\operatorname {int} A}$.
5. Intensif: ${\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}$.
6. Idempoten: ${\displaystyle \operatorname {int} \left(\operatorname {int} A\right)=\operatorname {int} A}$.
7. Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan: ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=(\operatorname {int} A)\cap (\operatorname {int} B)}$.
   Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)\supseteq (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)}$ dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku.^{[note 1]} Sebagai contoh, jika ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle A=\left[0,\,1\right]}$, dan ${\displaystyle B=\left(1,\,2\right)}$, maka $${\displaystyle (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)=\left(0,\,1\right)\cup \left(1,\,2\right)\subset \left(0,\,2\right)=\operatorname {int} (A\cup B)}$$
8. Monoton tak turun terhadap ${\displaystyle \subseteq }$: Jika ${\displaystyle A\subseteq B}$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {int} B}$.

Sifat lainnya antara lain:

1. Jika ${\displaystyle A}$ tertutup dan ${\displaystyle \operatorname {int} B=\varnothing }$, maka ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)=\operatorname {int} A}$.

Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata

"interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"

berturut-turut diganti dengan

"penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"

dan simbol-simbol berikut ditukar:

1. ${\displaystyle \subseteq }$ ditukar dengan ${\displaystyle \supseteq }$
2. ${\displaystyle \cup }$ ditukar dengan ${\displaystyle \cap }$

Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.

Operator interior ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$ merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ atau dengan garis atas ^—, dalam artian bahwa $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}H=\left({\overline {H^{\mathsf {c}}}}\right)^{\mathsf {c}}}$$ dan juga $${\displaystyle {\overline {H}}=\left(\operatorname {int} _{X}(H^{\mathsf {c}})\right)^{\mathsf {c}}}$$ dengan ${\displaystyle X}$ menyatakan ruang topologis yang memuat ${\displaystyle H}$, dan simbol ${\displaystyle {\phantom {l}}^{\mathsf {c}}}$ menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada ${\displaystyle X}$.

Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:

Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.

Eksterior dari himpunan bagian ${\displaystyle H}$ pada ruang topologis ${\displaystyle X}$, ditulis sebagai ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}H}$ atau ${\displaystyle \operatorname {ext} H}$, adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan ${\displaystyle H}$, yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada ${\displaystyle X}$ yang saling asing dengan ${\displaystyle H}$. Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup.^[6] Secara simbolis, maka $${\displaystyle \operatorname {ext} H=\operatorname {int} H^{\mathsf {c}}=\left({\overline {H}}\right)^{\mathsf {c}}}$$

Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka, $${\displaystyle \operatorname {int} H=\operatorname {ext} H^{\mathsf {c}}}$$

Interior, batas, dan eksterior dari himpunan ${\displaystyle H}$ bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka $${\displaystyle X=\operatorname {int} H\;\cup \;\partial H\;\cup \;\operatorname {ext} H}$$ dengan ${\displaystyle \partial H}$ menyatakan batas dari ${\displaystyle H}$.^[7] Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.

Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:

1. Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika ${\displaystyle A\subseteq B}$, maka ${\displaystyle \operatorname {ext} B\subseteq \operatorname {ext} A}$.
2. Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} A\right)}$.

• Interior aljabar
• DE-9IM
• Aljabar interior
• Teorema kurva Jordan
• Interior kuasi-relatif

• (Inggris) Interior di PlanetMath.