|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:
- ,
де — Біноміальний коефіцієнт.
Формула для чисел Бернуллі
Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула:
Властивості
- Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім , дорівнюють нулю, знаки міняються.
- Числа Бернуллі є значеннями при многочленів Бернуллі: .
Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:
- ,
- ,
- .
- Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана при парних :
- Із чого випливає
- для всіх n.
У математиці, числа Бернуллі Bn є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.
Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є
Bn = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B1 = −1/2, але деякі автори використовують B1 = +1/2 і деякі пишуть Bn для B2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):
n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
Bn
|
1
|
−1/2
|
1/6
|
0
|
−1/30
|
0
|
1/42
|
0
|
−1/30
|
0
|
5/66
|
0
|
−691/2730
|
0
|
7/6
|
Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році [1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi[en] 1713 року.
Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера — Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.
Значення чисел Бернуллі
BN = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B 1 = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).
Примітки
- ↑ Selin, H. (1997), p. 891
- ↑ Smith, D. E. (1914), p. 108
Література