Метричний простір

Метри́чний про́стір — це множина об'єктів довільної природи, для яких введено поняття відстані між елементами (числами, n-дійсними числами, n-вимірними векторами, функціями, наборами функцій, тощо).

Метричним простором називається пара ${\displaystyle (X,\;d)}$, яка складається з деякої множини елементів ${\displaystyle \;X}$ і відстані ${\displaystyle d\colon X\times X\to \mathbb {R} }$, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції ${\displaystyle \;d(x,y)}$, визначеної для ${\displaystyle \forall x,y\in X}$, яка задовольняє такі 3 аксіоми:

1. ${\displaystyle d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y}$ (аксіома тотожності).
2. ${\displaystyle d(x,\;y)=d(y,\;x)}$ (аксіома симетрії).
3. ${\displaystyle d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)}$ (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:

${\displaystyle 0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)}$

1. Простір ізольованих точок
   ${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq \ y\end{cases}}}$
2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
   ${\displaystyle d(x,\;y)=|x-y|}$
3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ з відстанню
   ${\displaystyle d(x,\;y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})^{2}}}}$
   називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$, але з відстанню
   ${\displaystyle d_{1}(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}|y_{k}-x_{k}|}$
   позначимо простором ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{n}}$.
5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
   ${\displaystyle d_{\infty }(x,\;y)=\max _{1\leqslant k\leqslant n}|y_{k}-x_{k}|}$
   Цей простір ${\displaystyle \mathbb {R} _{\infty }^{n}}$ в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
6. Множина ${\displaystyle C_{[a,b]}}$ всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ з відстанню
   ${\displaystyle d(f,\;g)=\max _{a\leqslant t\leqslant b}|g(t)-f(t)|}$
7. Позначимо через ${\displaystyle {\mathit {l}}_{2}}$ метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )}$ дійсних чисел, що задовольняють умові: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{2}<\infty }$, а відстань визначається формулою:
   ${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{\infty }(y_{k}-x_{k})^{2}}}}$
8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, але відстань визначимо по-іншому, а саме:
   ${\displaystyle d(x,y)=\left(\int _{a}^{b}(x(t)-y(t))^{2}\right)^{1/2}}$
   Такий метричний простір позначимо ${\displaystyle C_{2}[a,b]}$ і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )}$ дійсних чисел, отримаємо простір ${\displaystyle {\mathit {m}}}$ з метрикою:
   ${\displaystyle d(x,\;y)=\sup _{k}|y_{k}-x_{k}|}$
10. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    ${\displaystyle d(x,\;y)=(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}-x_{k}|^{p})^{1/p}}$,
    де ${\displaystyle p}$ — будь-яке фіксоване число ${\displaystyle \geqslant 1}$. Цей простір позначимо ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$

1. Будь-який метричний простір задовольняє першу аксіому зліченності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє другу аксіому зліченності.

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки ${\displaystyle \;x}$ метричного простору ${\displaystyle \;X}$ визначимо відкриту кулю радіуса ${\displaystyle \;r>0}$ з центром в точці ${\displaystyle \;x}$, як множину ${\displaystyle B(x,r)\equiv \{y\in X|d(x,y)<r\}}$. Такі відкриті кулі породжують топологію на ${\displaystyle \;X}$, а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім аксіомам віддільності.

Підмножина ${\displaystyle \;U}$ метричного простору ${\displaystyle \;X}$ називається відкритою, якщо ${\displaystyle \forall x\in U\;\exists r>0}$, такий що ${\displaystyle B(x,r)\subset U.}$ Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки ${\displaystyle x\in X}$ називається будь-яка відкрита підмножина ${\displaystyle \;X}$, що містить ${\displaystyle \;x}$.

Послідовність ${\displaystyle \{\;x_{n}\}}$ метричного простору ${\displaystyle \;X}$ називається збіжною до границі ${\displaystyle x\in X}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \forall \epsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n>N\;d(x_{n},x)<\epsilon .}$ Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина ${\displaystyle \;A}$ метричного простору ${\displaystyle \;X}$ замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність ${\displaystyle \;A}$ збіжна в ${\displaystyle \;X}$ і має границю, що належить ${\displaystyle \;A}$.

Якщо відображення ${\displaystyle \;f:X\to Y}$ взаємно однозначне, то існує обернене відображення ${\displaystyle \;x=f^{-1}(y)}$ простору ${\displaystyle \;Y}$ на простір ${\displaystyle \;X}$. Якщо відображення ${\displaystyle \;f}$ взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори ${\displaystyle \;X}$ та ${\displaystyle \;Y}$, між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція ${\displaystyle \;f}$ між метричними просторами ${\displaystyle (X,\;d_{1})}$ і ${\displaystyle (Y,\;d_{2})}$ є ізометрією, якщо ${\displaystyle d_{1}(x_{1},x_{2})=d_{2}(f(x_{1}),f(x_{2}))\;\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$. Простори ${\displaystyle \;X}$ і ${\displaystyle \;Y}$, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору: ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,\forall m>N:d(x_{n},x_{m})<\varepsilon }$.

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо ${\displaystyle \;X}$ повна підмножина метричного простору ${\displaystyle \;M}$, то ${\displaystyle \;X}$ є замкненим в ${\displaystyle \;M}$. Дійсно, простір ${\displaystyle \;X\subset M}$ є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі ${\displaystyle \;M}$.

Якщо ${\displaystyle \;(X,d)}$ — повний метричний простір, то ${\displaystyle \;X}$ є множиною другої категорії (Теорема Бера про категорії).

• Повний метричний простір
• Категорія метричних просторів
• Нормований простір
• Неархімедова метрика
• Відстань Гаусдорфа
• Скінченний топологічний простір

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)

• Introduction to Metric Spaces. MIT OpenCourseWare (англ.). Процитовано 15 листопада 2023.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.