Зоногон — опуклий многокутник з парною кількістю сторін, які можна розбити на пари рівних і паралельних. Насправді, достатньо вимагати істинність обох умов для всіх пар сторін, крім однієї — для неї умова вже буде наслідком, що неважко довести за індукцією за кількістю сторін многокутника. Однак пара сторін, паралельність і рівність яких не постулюється, обов'язково повинна бути однією і тією ж для обох умов, інакше мнгокутник вже не обов'язково буде зоногоном: приклад многокутника, який не є зоногоном, у якому протилежні сторони лише однієї пари не паралельні і протилежні сторони лише однієї пари не рівні, зображений на рисунку.
Зоногон — опуклий многокутник з парною кількістю сторін, у якого всі протилежні сторони і кути рівні.
Зоногон — сума Мінковського скінченного числа відрізків на площині. Кількість сторін отриманого зоногона дорівнює подвоєній кількості відрізків.
Зоногон — межапроєкції на площинугіперкуба певної розмірності. Це визначення можна отримати з попереднього, користуючись тим фактом, що гіперкуб є сумою Мінковського своїх ребер, які виходять з однієї вершини, і тим, що проєкція суми Мінковського відрізків (як і будь-яких інших множин) є сумою Мінковського їхніх проєкцій. За розмірності гіперкуба отриманий зоногон має рівно сторін у загальному випадку і не більше сторін у будь-якому випадку. Важливо, що гіперкуб розмірності не обов'язково повинен проєктуватися з -вимірного простору на площину, що міститься в цьому просторі: наприклад, проєктуючи куб з ребром з тривимірного простору на площину, що міститься в ньому, можна отримати фігуру з діаметром менше , оскільки такий діаметр вписаної сфери куба, чия проєкція є колом діаметра і міститься всередині проєкції самого куба за будь-якого його положення, а ось ортогональна проєкція куба такого самого розміру з вершинами з п'ятивимірного простору на площину, утворену усіма точками вигляду , складається взагалі з однієї точки — . Це уточнення впливає не тільки на розмір одержуваних зоногонів — деякі зоногони з точністю до подібності можна отримати тільки проєктуванням гіперкуба на площину з простору більшої розмірності, ніж розмірність самого гіперкуба.
Максимальна кількість пар вершин, які можуть міститись на однакових відстанях, у зоногоні з сторонами дорівнює . Існують зоногони з кількістю таких пар, рівною (див. «O» велике і «o» мале)[3].
Будь-який строго опуклий зоногон з сторонами можна розбити на паралелограмів, причому серед них завжди на кожну пару можливих напрямків сторін зоногона припадатиме рівно один паралелограм з такими самими напрямками сторін[4]. Кількості таких можливих розбиттів для зоногонів з будь-якими кількостями сторін дає послідовність A006245 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
Для будь-якого довільного розбиття зоногона на паралелограми (в будь-якій можливій їх кількості) знайдеться принаймні три вершини зоногона, кожна з яких належить лише одному з паралелограмів[5].
Способи зменшення кількості сторін
Зазначені способи можна застосувати в індукції за кількістю сторін зоногона для доведення наведених вище еквівалентних визначень і властивостей.
Відсікання вершин — за допомогою нього, наприклад, легко доводиться еквівалентність головного визначення другому визначенню з розділу з еквівалентними визначеннями.
Відсікання смуг паралелограмів — крім іншого, його можна використати для доведення властивостей вище, пов'язаних з розбиттям зоногонів на паралелограми повністю.
Усі зоногони з кількістю вершин, більшою від чотирьох, у замощеннях нижче можна розбити на зоногони з меншою кількістю вершин за допомогою розсікання шарів паралелограмів, показаного на одному з малюнків вище. Також ці паралелограми можна видалити із замощення, що буде рівносильно «складанню» зоногонів у певному напрямку.
Такі замощення є свого роду зрізаними замощеннями площини паралелограмами (чотирикутними зоногонами) по ребрах і по вершинах відповідно.
Замощення площин двома типами зоногонів
Замощення чотирикутними і шестикутними зоногонами
Замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами
Деякі інші замощення
Замощення площини декількома типами зоногонів, включно з восьмикутними, отримані з замощень площини одним типом зоногонів
Замощення чотирикутними і восьмиукутними зоногонами
Замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами
Каркаси
Замощення
У загальному випадку восьмикутний зоногон задає два подібних замощення.
У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення.
Замощення площини чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами, отримані з замощень попередньої таблиці
Замощення, отримане з замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами
Замощення, отримане з замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами
Каркаси
Замощення
У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення (двома способами можна з'єднувати самі восьмикутники, а ще двома для кожного розташування восьмикутників згрупувати решту частини площини в чотирикутники і шестикутники).
У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення, як і у випадку зліва. У цій мозаїці, на відміну від тієї, що зліва, чотирикутники, які беруть участь у заповненні дірок у «кільцях» з восьми восьмикутників, збігаються з чотирикутниками, які заповнюють дірки в «кільцях» з чотирьох восьмикутників — цей факт ілюструє можливість двоякого заповнення «кілець» з восьми восьмикутників (у другому варіанті їх чотирикутники збігалися б з чотирикутниками з «кілець» з шести восьмикутників).
Деякі способи «розсування» замощень
Замощення можна «розсунути» вздовж періодичних розрізів між многокутниками, а отримані щілини можна заповнити смугами, наведеними нижче.
Способи з рівномірним чергуванням сторін
Період 1
Період 2
Період 3
Період 4
За допомогою цієї смуги ліве замощення з першої таблиці попереднього розділу можна перетворити на праве замощення тієї ж таблиці.
Способи зі сторонами, що зустрічаються з різною частотою
Період 4
На межі цієї смуги один тип сторін зустрічається в два рази частіше, ніж будь-який з інших двох.
Узагальнення
Зоноедр (зонотоп) — многогранник, який є узагальненням зоногона для тривимірного простору та просторів більшої розмірності. Іноді під зоноедром мають на увазі тільки тривимірний многогранник, а під зонотопом — многогранник довільної розмірності.
Можна розглядати центрально-симетричний многокутник, що не є опуклим і навіть несамоперетинним. При цьому для нього будуть істинними тільки два перших визначення з розділу Еквівалентні визначення відповідно до прибраних вимог опуклості. У певному сенсі такі многокутники з невеликою кількістю сторін все ще будуть допускати замощення площини.
↑Стейн, Шерман; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, т. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN9780883850282
↑Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, с. 121, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020, If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon