ESPRIT (Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariant Techniques) — численный метод, позволяющий оценить параметры суммы синусоид на фоне шумов по серии измерений. Является одним из спектральных алгоритмов сверхразрешения, использующих спектральное разложение корреляционной матрицы сигналов.

Метод ESPRIT предложили Полрэдж, Рой и Кейлейт в 1985 г. как развитие метода MUSIC^[1][2].

Входным параметром алгоритма является корреляционная матрица сигналов антенной решетки R:

${\displaystyle R={\frac {1}{K}}\cdot \sum _{t=t_{1}}^{K}x(t)\cdot x^{H}(t)}$

где К — количество временных отсчетов;

${\displaystyle x(t)}$ — вектор значений в элементе антенной решетки;

${\displaystyle x^{H}(t)}$ — эрмитово-сопряженная матрица к матрице ${\displaystyle x(t)}$;

${\displaystyle t_{1}}$ — начальный момент времени.

Для работы алгоритма ESPRIT необходимо знать количество источников сигналов. Одним из возможных способов определения количества источников является использование спектрального разложения. За счет свойств корреляционной матрицы, ее спектральное и сингулярное разложения совпадают, поэтому в дальнейшем использование спектрального разложения подразумевает возможность использования вместо него сингулярного. Спектральное разложение корреляционной матрицы позволяет получить собственные числа и вектора сигнального и шумового подпространств:^[3]

${\displaystyle R=U_{s}\Lambda _{s}U_{s}^{H}+U_{n}\Lambda _{n}U_{n}^{H}}$

где ${\displaystyle U_{n}}$ и ${\displaystyle U_{s}}$ — матрицы сигнального и шумового подпространств;

${\displaystyle \Lambda _{n}}$ и ${\displaystyle \Lambda _{s}}$ — матрицы собственных значений сигнального и шумового подпространств.

Матрицы ${\displaystyle U_{s_{x}}}$ и ${\displaystyle U_{s_{y}}}$ являются матрицами сигнальных векторов первой и второй подрешеток соответственно. Матрица ${\displaystyle \Psi }$ является решением матричного уравнения ${\displaystyle U_{s_{x}}\cdot \Psi =U_{s_{y}}}$:

${\displaystyle \Psi =U_{s_{y}}\cdot U_{s_{x}}^{-1}=U_{\Psi }\cdot \Lambda _{\Psi }\cdot U_{\Psi }^{-1}}$

${\displaystyle \phi =diag{\{\Lambda _{\Psi }\}}}$

Углы направлений прибытия сигналов определяются выражением:^[3]

${\displaystyle \theta _{i}=arcsin{\Bigl (}{\frac {-\left\vert \phi _{i}\right\vert \cdot \lambda }{2\cdot \pi \cdot d}}{\Bigr )}}$

где d — расстояние между элементами антенной решетки.

Алгоритм реализации метода ESPRIT в MATLAB:

function esprit(y, model_order, number_of_sources):
    m = model_order
    n = number_of_sources
    create covariance matrix R, from the noisy measurements y. Size of R will be (m-by-m).
    compute the svd of R
    [U, E, V] = svd(R)
    
    obtain the orthonormal eigenvectors corresponding to the sources
    S = U(:, 1:n)                 
      
    split the orthonormal eigenvectors in two
    S1 = S(1:m-1, :) and S2 = S(2:m, :)
                                               
    compute P via LS (MATLAB's backslash operator)
    P = S1\S2 
       
    find the angles of the eigenvalues of P
    w = angle(eig(P))               
    return w

• Оценивание частот и угловых координат источников сигналов в цифровых антенных решётках^[4][5].

• MUSIC
• Метод Прони

• Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), Estimation Of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques - Esprit, Nineteenth Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers, pp. 83—89, doi:10.1109/ACSSC.1985.671426, ISBN 978-0-8186-0729-5.
• Roy, R.; Kailath, T. (1989). Esprit - Estimation Of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques (PDF). IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 37 (7): 984—995. doi:10.1109/29.32276. Архивировано из оригинала (PDF) 26 сентября 2020. Дата обращения: 23 июля 2020..
• Ibrahim, A. M.; Marei, M. I.; Mekhamer, S. F.; Mansour, M. M. (2011). An Artificial Neural Network Based Protection Approach Using Total Least Square Estimation of Signal Parameters via the Rotational Invariance Technique for Flexible AC Transmission System Compensated Transmission Lines. Electric Power Components and Systems. 39 (1): 64—79. doi:10.1080/15325008.2010.513363.
• Haardt, M., Zoltowski, M. D., Mathews, C. P., & Nossek, J. (1995, May). 2D unitary ESPRIT for efficient 2D parameter estimation. In icassp (pp. 2096—2099). IEEE.
• Тагаев Т. И., Музафаров Д. А., Мохорт Д. Ю., Космачев В. М. Определение оптимальных тактико-технических характеристик антенной решетки для различения алгоритмом сверхразрешения ESPRIT целей, разнесенных на малое угловое расстояние // Антенны и распространение радиоволн. — СПб.: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) (Санкт-Петербург) , 2021. — С. 96-98. ISBN 978-5-7629-2893-9