Em matemática, a solução de um problema bem-posto satisfaz as seguintes propriedades:

1. Ela existe;
2. Ela é única;
3. Seu comportamento muda continuamente com as condições auxiliares, como valores iniciais ou de contorno.

Esses critérios foram introduzidos pela primeira vez por Jacques Hadamard em 1902.^{[1][falta página]}

Exemplos de problemas bem-postos arquétipos incluem o problema de Dirichlet para a equação de Laplace e a equação do calor com condições iniciais especificadas. Estes podem ser considerados problemas 'naturais', pois existem processos físicos modelados por esses problemas.

Problemas que não são bem-postos no sentido acima são denominados mal-postos. Um exemplo simples é um problema de otimização global, porque a localização dos ótimos geralmente não é uma função contínua dos parâmetros que especificam a função objetivo, mesmo quando a própria função objetivo é uma função suave desses parâmetros. Problemas inversos são frequentemente mal-postos; por exemplo, a equação do calor inversa, deduzindo uma distribuição anterior de temperatura a partir de dados finais, não é bem-posta no sentido de que a solução é altamente sensível a mudanças nos dados finais.

Modelos contínuos devem frequentemente ser discretizados para se obter uma solução numérica. Embora as soluções possam ser contínuas em relação às condições iniciais, elas podem sofrer de instabilidade numérica quando resolvidas com precisão finita ou com erros nos dados.

Mesmo que um problema seja bem-posto, ele ainda pode ser mal-condicionado, o que significa que um pequeno erro nos dados iniciais pode resultar em erros muito maiores nas respostas. Problemas em sistemas complexos não lineares (os chamados sistemas caóticos) fornecem exemplos bem conhecidos de instabilidade. Um problema mal-condicionado é indicado por um grande número de condição.

Se o problema é bem-posto, então ele tem uma boa chance de solução em um computador usando um algoritmo estável. Se não é bem-posto, ele precisa ser reformulado para tratamento numérico. Tipicamente, isso envolve incluir suposições adicionais, como a suavidade da solução. Este processo é conhecido como regularização.^[2] A regularização de Tikhonov é uma das mais comumente usadas para regularização de problemas lineares mal-postos.

A existência de soluções locais é frequentemente uma parte importante do problema da boa-postura, e é a base de muitos métodos de estimativa, por exemplo, o método de energia abaixo.

Existem muitos resultados sobre este tópico. Por exemplo, o teorema de Cauchy–Kowalevski para problemas de valor inicial de Cauchy afirma essencialmente que se os termos em uma equação diferencial parcial são todos compostos de funções analíticas e uma certa condição de transversalidade é satisfeita (o hiperplano ou mais geralmente a hipersuperfície onde os dados iniciais são colocados deve ser não-característica em relação ao operador diferencial parcial), então em certas regiões, necessariamente existem soluções que são também funções analíticas. Este é um resultado fundamental no estudo de equações diferenciais parciais analíticas. Surpreendentemente, o teorema não é válido no cenário de funções suaves; um exemplo descoberto por Hans Lewy em 1957 consiste em uma equação diferencial parcial linear cujos coeficientes são suaves (isto é, têm derivadas de todas as ordens) mas não analíticos para a qual nenhuma solução existe. Portanto, o teorema de Cauchy–Kowalevski é necessariamente limitado em seu escopo a funções analíticas.

O método da energia é útil para estabelecer tanto a unicidade quanto a continuidade em relação às condições iniciais (ou seja, não estabelece existência). O método é baseado em derivar um limite superior de um funcional do tipo energia para um determinado problema.

Exemplo: Considere a equação de difusão no intervalo unitário com condições de contorno homogêneas de Dirichlet e dados iniciais adequados ${\displaystyle f(x)}$ (por exemplo, para os quais ${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$).

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Multiplique a equação ${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$ por ${\displaystyle u}$ e integre no espaço sobre o intervalo unitário para obter

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

Isso nos diz que ${\displaystyle \|u\|_{2}}$ (p-norma) não pode crescer no tempo. Multiplicando por dois e integrando no tempo, de ${\displaystyle 0}$ até ${\displaystyle t}$, encontra-se

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

Este resultado é a estimativa de energia para este problema.

Para mostrar a unicidade de soluções, suponha que existem duas soluções distintas para o problema, chame-as de ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$, cada uma satisfazendo os mesmos dados iniciais. Ao definir ${\displaystyle w=u-v}$ então, via linearidade das equações, descobre-se que ${\displaystyle w}$ satisfaz

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Aplicando a estimativa de energia, temos ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$, o que implica ${\displaystyle u=v}$ (quase toda parte).

Da mesma forma, para mostrar a continuidade em relação às condições iniciais, suponha que ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ são soluções correspondentes a dados iniciais diferentes ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ e ${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$. Considerando ${\displaystyle w=u-v}$ mais uma vez, descobre-se que ${\displaystyle w}$ satisfaz as mesmas equações acima, mas com ${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$. Isso leva à estimativa de energia ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$, que estabelece a continuidade (ou seja, à medida que ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ se tornam mais próximos, medidos pela norma ${\displaystyle L^{2}}$ de sua diferença, então ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$).

O princípio do máximo é uma abordagem alternativa para estabelecer a unicidade e a continuidade das soluções em relação às condições iniciais para este exemplo. A existência de soluções para este problema pode ser estabelecida usando séries de Fourier.

Se é possível denotar a solução para um problema de Cauchy ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$, onde A é um operador linear mapeando um subespaço linear denso D(A) de X em X (veja aplicação linear descontínua), com ${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$, onde ${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$ é uma família de operadores lineares em X, satisfazendo

• ${\displaystyle S(0)=I}$
• ${\displaystyle S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)}$ para quaisquer ${\displaystyle a,b\geq 0}$
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$ é contínua para cada ${\displaystyle w}$ em ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$ para cada ${\displaystyle w}$ em ${\displaystyle X}$

então (1) é bem-posto.

O teorema de Hille–Yosida estabelece os critérios sobre A para que tal ${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$ exista.

• Espectroscopia de absorção total – um exemplo de um problema inverso ou mal-posto em uma situação da vida real que é resolvido por meio do algoritmo de maximização de expectativa

• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. [S.l.]: Princeton University Bulletin. pp. 49–52 
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms 4ª ed. New York: McGraw-Hill. 1989. ISBN 0-07-045270-9 
• Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. (1977). Solutions of ill-Posed Problems. New York: Winston. ISBN 0-470-99124-0 
• Strauss, Walter A. (2008). Partial differential equations; An introduction 2ª ed. Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7 
• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations (PDF). Providence (R. I.): American mathematical society. ISBN 0-8218-0772-2 
• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Princeton University Bulletin. [S.l.: s.n.] pp. 49–52 
• Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms 4th ed. New York: McGraw-Hill. ISBN 0070452709 
• Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. (1977). Solutions of Ill-Posed Problems. New York: Winston. ISBN 0470991240