Vermoeden van Mertens

In de wiskunde is het vermoeden van Mertens een bewering over het asymptotisch gedrag van de mertensfunctie. Het vermoeden is genoemd naar Franz Mertens, die in 1897 zijn vermoeden uitsprak. In 1985 werd dit vermoeden echter weerlegd. Als het vermoeden van Mertens waar zou zijn geweest, zou daarmee ook de riemann-hypothese zijn bewezen.

In de getaltheorie is de mertensfunctie gedefinieerd als

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

waarin μ(k) de möbiusfunctie is. Het vermoeden van Mertens luidt dat voor alle ${\displaystyle n>1}$ geldt dat

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}}$

In 1985 weerlegden Andrew Odlyzko en Herman te Riele het vermoeden van Mertens. Later werd aangetoond dat het kleinste argument voor een tegenvoorbeeld kleiner moet zijn dan ${\displaystyle \exp(3{,}21\times 10^{64})}$ (Pintz 1987), maar groter dan ${\displaystyle 10^{14}}$ (Kotnik en Van de Lune 2004). De bovengrens is inmiddels verlaagd tot ${\displaystyle \exp(1{,}59\times 10^{40})}$ (Kotnik en Te Riele 2006), maar er is nog geen expliciet tegenvoorbeeld bekend.

Stieltjes beweerde in 1885 een zwakker resultaat te hebben bewezen, namelijk dat ${\displaystyle M(n)/{\sqrt {n}}}$ begrensd was, maar hij publiceerde dit bewijs niet. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd.

Als de möbiusfunctie ${\displaystyle \mu }$ wordt vervangen door een willekeurige rij van 1'en en −1'en, volgt uit de wet van de iteratieve logaritmen dat de orde van groei van de partiële sommen van de eerste ${\displaystyle n}$ termen (met kans 1) ongeveer gelijk is aan ${\displaystyle {\sqrt {n\log \log n}}}$, hetgeen suggereert dat de orde van de toename van ${\displaystyle M(n)/{\sqrt {n}}}$ ergens rond ${\displaystyle {\sqrt {\log \log n}}}$ zou kunnen liggen. De werkelijke orde van groei zou iets kleiner kunnen zijn, zoals vermoedt door Steve Gonek in de vroege jaren 1990, namelijk ${\displaystyle (\log {\log {\log {n}}})^{5/4}}$. Dit werd in 2004 gedeeld door Ng, gebaseerd op een heuristisch argument.

Het verband met de riemann-hypothese is gebaseerd op de dirichletreeks voor de reciproke van de riemann-zèta-functie:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$,

die geldig is in het gebied ${\displaystyle \Re (s)>1}$.

Dit kan herschreven worden als een Stieltjes-integraal

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\int _{0}^{\infty }x^{-s}\,{\rm {d}}M(x)}$,

waaruit na partiële integratie de reciproke van de zètafunctie ontstaat als een mellin-transformatie

${\displaystyle {\frac {1}{s\zeta (s)}}=\left\{{\mathcal {M}}M\right\}(-s)=\int _{0}^{\infty }x^{-s-1}M(x)\,{\rm {d}}x}$

Terugtransformeren geeft ${\displaystyle M}$ uitgedrukt in termen van ${\displaystyle 1/\zeta }$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,{\rm {d}}s}$

geldig voor ${\displaystyle 1<\sigma <2}$, en voor ${\displaystyle 1/2<\sigma <2}$ onder de riemann-hypothese.

Hieruit volgt dat de mellin-transformatieintegraal moet convergeren, en dat ${\displaystyle M(x)}$ van de orde ${\displaystyle O(x^{e})}$ moet zijn voor elke exponent ${\displaystyle e>1/2}$.

Dit impliceert dat

${\displaystyle M(x)=O(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })}$

voor elke ${\displaystyle \epsilon >0}$ equivalent is aan de riemann-hypothese, die daarom een gevolg zou zijn van het sterkere vermoeden van Mertens. Ook volgt uit de hypothese van Stieltjes dat

${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2})}$

• (en) T. Kotnik en Herman te Riele, (2006), "The Mertens Conjecture Revisited^{[dode link]}", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pag. 156-167.
• (en) T. Kotnik en J. van de Lune, (2004), "On the order of the Mertens function", Experimental Mathematics 13, pag. 473-481
• (de) F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761–830.
• (en) A. M. Odlyzko en Herman te Riele, (1985), "Disproof of the Mertens Conjecture", Journal für die reine und angewandte Mathematik 357, pp. 138–160.
• (en) J. Pintz, (1987), "An effective disproof of the Mertens conjecture", Astérisque 147-148, pp. 325–333.
• (en) Het vermoeden van Mertens op MathWorld