正八面体

正八面体
種別	正多面体、デルタ多面体、八面体
面数	8
面形状	正三角形
辺数	12
頂点数	6
頂点形状	3, 3, 3, 3 34
シュレーフリ記号	{3, 4}
ワイソフ記号	4 | 2 3
対称群	Oh
双対多面体	正六面体
特性	凸集合
展開図の例
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正八面体（せいはちめんたい、英: regular octahedron）とは、正多面体の一種であり、8枚の正三角形から成り立つ立体である。

正多面体のひとつの正六面体のすべての頂点まわりを各面の中心まで切頂することによって得られる。（双対関係）

正四面体の各頂点を辺の中心まで切り落とした形でもある。

• 双四角錐、反三角柱の特殊な形。
• 向かい合う面は平行である。
• 展開図の数は11種類。
• 星形化すると星型八面体となる。
• 面の数は8、辺の数は12、頂点の数は6。これらはパスカルのピラミッド（英語版）の第4段（Layer 3）の三角形の各段の数字の総和に等しい。反対側の面の中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、面、辺、頂点は各段の数字通りのグループに分割される。
• 頂点形状は正方形であり、4本の辺と4枚の正三角形が集まる。これらはパスカルのピラミッドの第3段（Layer 2）の三角形の各段の数字の総和に等しい。
• 単独で空間充填は出来ないが、正四面体と組み合わせた空間充填は可能である。
• 下図に示すように、正六面体と双対である。

正六面体との双対関係

面の面積	${\displaystyle A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}}$
表面積	${\displaystyle S=8A=2{\sqrt {3}}a^{2}}$
体積	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sr={1 \over 3}{\sqrt {2}}a^{3}}$
対角線の長さ	${\displaystyle d={\sqrt {2}}a}$
外接球半径	${\displaystyle R={\frac {d}{2}}={a \over {\sqrt {2}}}}$
内接球半径	${\displaystyle r={a \over {\sqrt {6}}}}$

• 
  星型八面体

• 
  四面半六面体

• 
  正四角錐
  （半分に割る）
• 
  双四角錐柱
  （間に正四角柱を挟む）
• 
  双四角錐反柱
  （片側を45°捻り、間に正反四角柱を挟む）
• 
  双三角錐
  （錐の角の数を減らす）
• 
  双五角錐
  （錐の角の数を増やす）

• 
  正四面体
  {3, 3}
  （ベースの形）
• 
  切頂四面体
  t{3, 3}
  （正四面体との中間にあたる）
• 
  切頂八面体
  t{3, 4}
  （切頂する）
• 
  立方八面体
  r{4, 3} = r{3, 4}
  （深く切頂する）
• 
  斜方切頂立方八面体
  tr{4, 3}
  （頂点と辺を削る）
• 
  斜方立方八面体
  rr{4, 3}
  （Expansionを行う）
• 
  変形立方体
  sr{4, 3}
  （面をねじる）
• 
  正二十面体
  s{4, 3}
  （面を隣り合う面同士で逆方向にねじる）
• 
  三方八面体
  （各面の中心を持ち上げる）
• 
  菱形十二面体
  （各面の中心を更に持ち上げる）
• 
  六方八面体
  （各面と各辺の中心を持ち上げる）
• 
  凧形二十四面体
  （各面と各辺の中心を、四角形に分かれるように持ち上げる）
• 
  五角二十四面体
  （頂点をねじる）
• 
  正六面体と正八面体による複合多面体
• 
  5個の正八面体による複合多面体
• 
  20個の正八面体による複合多面体
• 
  立方半八面体
• 
  八面半八面体
• 
  正二十四胞体
  （16個を4次元空間内で貼り合わせる）

• Weisstein, Eric W. "Octahedron". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Regular Octahedron". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Octahedral Graph". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Octahedral Group". mathworld.wolfram.com (英語).

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表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形

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