最小公倍数(さいしょうこうばいすう、英: least common multiple)とは、ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数を指す。度々、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。
定義
2つ以上の整数 の最小公倍数とは、の公倍数のうち最小の正整数である。
つまり、を、素数 (prime) p を用いて
と素因数分解したとき、の最小公倍数は
で与えられる。
例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。
- 12 = 22×31
- 16 = 24
- 48 = 24×31
諸概念
公倍数は最小公倍数の倍数である。
証明
の最小公倍数を とする.
の一般の公倍数を とし, と置く。
変形して …①
①右辺は は の公倍数、 も同じく の公倍数。
よって①の左辺 は の公倍数になる。
しかし となり、最小公倍数 よりも一般公倍数 が小さく矛盾.
すなわち 。よって公倍数 であり最小公倍数の倍数となっている.(証明終)
正整数に対して、との最大公約数と最小公倍数との間には
という関係がある。
しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、とすると、であるが、である。
多項式の最小公倍数
多項式のでない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、との最小公倍数はである。
多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。
参考文献
- 高木貞治『初等整数論講義第2版』共立出版、東京、1971年。
関連項目