במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית ותורת המספרים, עקום אליפטי הוא עקום אלגברי פרויקטיבי חלק מגנוס 1. עקומים אליפטיים הם העקומים הפשוטים ביותר שאינם רציונלים. כמו כן, הם היריעות אבליות הפשוטות ביותר. עקומים אליפטים הם אובייקט מחקר מרכזי במתמטיקה מודרנית ונמצאו להם שימושים רבים בתחומים רבים של המתמטיקה ומדעי המחשב. את שמם, קיבלו העקומים האליפטים מן הקשר שלהם לחישוב אורך הקשת של אליפסות, הכרוך בחישוב אינטגרל אליפטי.
צורת ויירשטראס
כל העקומים האליפטים הם מישוריים, כלומר ניתנים לשיכון במישור הפרויקטיבי. אם המאפיין של שדה הבסיס אינו 2 או 3, כל עקום אליפטי מעל איזומורפי לאוסף הנקודות במישור הפרויקטיבי המקיימות משוואה מעוקבת מהצורה:
כאשר ו- הם איברים של . הצגה זו נקראת צורת ויירשטראס של העקום. אם המאפיין הוא 2 או 3, הצורה הכללית קצת שונה.
כיריעה אבלית
בעזרת צורת ויירשטראס, ניתן להגדיר מבנה של חבורה על אוסף הנקודות של עקום אליפטי. הכפל מאופיין על ידי התכונות הבאות:
הנקודה [0:1:0] היא האיבר האדיש.
אם ישר פרויקטיבי שחותך את העקום בנקודות P,Q,R אז מתקיים P+Q+R=0.
בתנאי השני, את הנקודות צריך לספור לפי כפליות החיתוך: לדוגמה, אם משיק לעקום בנקודה P וחותך אותו בנקודה נוספת Q, הדרישה היא 2P+Q=0.
בכוון ההפוך, אם שריג עם פונקציית ויירשטראס , אז התמונה של היא עקום אליפטי. שני עקומים אליפטיים הם איזומורפיים אם ורק אם השריגים המתאימים להם הומוטתיים.
אם המאפיין של אינו 2 או 3, הרי שכל עקום אליפטי מעל אפשר להביא (על ידי העתקה רציונלית) לצורה הבאה:
כאשר ו- הם איברים של , כך שלחלק הימני של המשוואה הזו אין אף שורש כפול. אם המאפיין הוא 2 או 3, הצורה הכללית קצת שונה.
לרוב לוקחים את העקום להיות קבוצת כל הנקודות אשר מקיימות את המשוואה לעיל, וכך שגם וגם הם איברים בסגור האלגברי של . נקודה של העקום אשר שתי הקואורדינטות שלה שייכות ל- נקראת נקודה -רציונלית.
על ידי הוספת נקודה "באינסוף", אנו משיגים את הגרסה הפרויקטיבית של עקום זה. אם ו- הן שתי נקודות על העקום, הרי שקיימת נקודה שלישית אחת ויחידה אשר מהווה את החיתוך בין העקום לבין הקו הישר העובר בין ל-. אם הקו הישר משיק לעקום בנקודה כלשהי, הרי שנקודה זו נספרת פעמיים, ואם הקו הישר מקביל לציר ה-, אנו מגדירים את הנקודה השלישית "באינסוף". בדיוק אחד מן המצבים הללו מתקיים לכל זוג של נקודות על עקום אליפטי.
ניתן להגדיר פעולה בינארית על העקום, שתסומן ב"", עם התכונות הבאות:
אנו מתייחסים לנקודת האינסוף כאפס, כלומר כאיבר הזהות של הקבוצה; אם קו ישר חוצה את העקום ב-3 נקודות , ו-, אנו נדרוש כי יתקיים . ניתן לבדוק כי הגדרה זו הופכת את העקום לחבורה אבלית, ובכך גם ליריעה אבלית. כמו כן, ניתן להראות שקבוצת הנקודות ה--רציונליות, כולל נקודת האינסוף, יוצרים תת חבורה של חבורה זו. אם נסמן את העקום ב-, הרי שנוהגים לרשום את העקום כ-.
את החבורה הזו ניתן לתאר הן בצורה אלגברית והן בצורה גאומטרית. בהינתן העקום מעל השדה (אשר המאפיין שלו שונה מ-2 ו-3), ונקודות ו- על העקום, נניח תחילה כי . יהי . כיוון ש- שדה, מוגדר היטב. לכן נוכל להגדיר על ידי:
אם מתקיים , הרי שיש שתי אפשרויות:
אם , אז הסכום מוגדר להיות 0. לכן, ההופכי של כל נקודה על העקום הוא הנקודה הסימטרית מעבר לציר ה-x. אם , אז נתון על ידי:
^כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי.
^ 123כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
^למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות
^כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירה (ופשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה.