משוואת קליין-גורדון

משוואת קליין-גורדון היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המשמשת לתיאור של חלקיק קוונטי יחסותי חסר ספין, ובכך היא מעין הכללה יחסותית של משוואת שרדינגר.

המשוואה קרויה על שמם של אוסקר קליין וולטר גורדון, אשר הציגו אותה באופן בלתי תלוי בשנת 1926. קליין הגיע למשוואה במסגרת ניסיון לאיחוד תורת הקוונטים, תורת היחסות הכללית והאלקטרומגנטיות (ראו תורת קלוצה-קליין), בעוד שגורדון הגיע אליה במסגרת מחקר של אפקט קומפטון.

יש לציין כי קליין וגורדון לא היו הראשונים שפיתחו את המשוואה הקרויה על שמם. ארווין שרדינגר השתעשע במשוואה דומה כבר בשנת 1925, אך זנח אותה כאשר לא הצליח לשחזר בעזרתה את ספקטרום האנרגיה של אטום המימן. גם פיזיקאים נוספים (ולדימיר פוק, לואי דה ברויי ועוד) עסקו במשוואה או פיתחו אותה באופן בלתי תלוי.

משוואת קליין-גורדון סובלת ממספר בעיות (ראו להלן) אשר גרמו לפיזיקאים לזנוח אותה לטובת משוואת דיראק. החל מאמצע שנות ה-30 של המאה ה-20 זכתה המשוואה להתעניינות מחודשת עם פיתוח תורת השדות הקוונטית ועם גילוי חלקיקים בעלי ספין 0. כיום השימוש במשוואה נעשה במסגרת של תורת השדות.

משוואת קליין-גורדון מתקבלת מתוך 'יחס הדיספרסיה' של חלקיק חופשי רלטיביסטי ${\displaystyle E^{2}=c^{2}{\vec {p}}^{2}+m^{2}c^{4}}$ על ידי ההצבה ${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$ ו- ${\displaystyle E=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$. זאת בדומה למשוואת שרדינגר המתקבלת על ידי הצבת הנ"ל ביחס הדיספרסיה ${\displaystyle E={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}$. המשוואה המתקבלת היא: $${\displaystyle -\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=(-\hbar ^{2}c^{2}{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2}c^{4})\psi }$$ במערכת היחידות בה ${\displaystyle \hbar =c=1}$^[1], המשוואה מקבלת את הצורה: $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=(-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2})\psi }$$ מקובל גם לכתוב את המשוואה בעזרת אופרטור הד'אלמברטיאן ${\displaystyle \Box }$ כ- ${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi =0}$, או בכתיבה יחסותית:

$${\displaystyle (\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\psi =0}$$.

את המשוואה ניתן לקבל מתוך הלגרנז'יאן ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\psi ^{*}\partial _{\mu }\psi +m^{2}\psi ^{*}\psi }$^[2].

הפתרון הכללי של המשוואה עבור חלקיק חופשי הוא סופרפוזיציה של גלים מן הצורה ${\displaystyle e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}}$, כאשר ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ו-${\displaystyle \ \omega }$ מקיימים ${\displaystyle \ \omega ^{2}=k^{2}+m^{2}}$. ניתן לקבל זאת על ידי הפרדת משתנים - נפריד ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)=\varphi ({\vec {r}})\cdot T(t)}$ ונקבל את המשוואה ${\displaystyle -\hbar ^{2}\cdot \varphi \cdot {\frac {\partial ^{2}T}{\partial t^{2}}}=-\hbar ^{2}\cdot c^{2}T\cdot \nabla ^{2}\varphi +m^{2}c^{4}\cdot T\cdot \varphi }$. נעביר אגפים ונקבל ${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{T}}\cdot {\frac {\partial ^{2}T}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\hbar ^{2}c^{2}}{\varphi }}\cdot \nabla ^{2}\varphi +m^{2}c^{4}}$. כעת, נסמן את אגף שמאל ב${\displaystyle \hbar ^{2}\omega ^{2}}$ ואת אגף ימין ב${\displaystyle \hbar ^{2}c^{2}k^{2}+m^{2}c^{4}}$. נשים לב שייתכן ש${\displaystyle \omega }$ ו${\displaystyle k}$ הם מדומים ולכן לא פגענו בכלליות הפתרון. נתמקד באגף שמאל, הזמני - נקבל ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}T}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}T}$ ונקבל אקספוננט מדומה, ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$ באגף ימין, נקבל ${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-k^{2}\cdot \varphi }$. פתרון משוואה זו ניתן על ידי הפרדת משתנים נוספת, אך זו משוואה מוכרת ופתרונה הוא ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}$.

משוואת קליין-גורדון עבור חלקיק בעל מטען ${\displaystyle \ q}$ הנע בהשפעת פוטנציאל חשמלי ${\displaystyle \ \phi }$, פוטנציאל וקטורי ${\displaystyle {\vec {A}}}$, מתקבלת באופן דומה למשוואת קליין-גורדון עבור חלקיק חופשי, מתוך יחס הדיספרסיה: $${\displaystyle (E-q\phi )^{2}=({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}+m^{2}}$$ או לחלופין על ידי החילוף ${\displaystyle \partial _{\mu }\rightarrow \partial _{\mu }-iqA_{\mu }}$ (נגזרת קווריאנטית) במשוואה ${\displaystyle (\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\psi =0}$.

אם בנוסף פועל על החלקיק פוטנציאל סקלרי ${\displaystyle \ V}$^[3] הוא מתווסף לאיבר ${\displaystyle m^{2}\rightarrow (m+V)^{2}}$.

ניתן לפתור את משוואת קליין גורדון עבור 'אטום דמוי מימן'. במקרה זה הפוטנציאל הסקלרי הוא פוטנציאל קולון ${\displaystyle -{\frac {Ze}{r}}}$ (כאשר e הוא מטען האלקטרון ו-Z הוא מספר הפרוטונים בגרעין) והפוטנציאל הווקטורי מתאפס. רמות האנרגיה המתקבלות הן: $${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1+{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{\lambda ^{2}}}}}}}$$ כאשר ${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$ הוא קבוע המבנה העדין ו-${\displaystyle \lambda =n'+{\frac {1}{2}}+{\sqrt {(l+{\frac {1}{2}})^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}$ (${\displaystyle \ l}$ המספר הקוונטי של התנע הזוויתי ו-${\displaystyle \ n'}$ מספר קוונטי רדיאלי (שלם, אי שלילי)). את הביטוי הנ"ל ניתן לפתח לטור ב-${\displaystyle \alpha ^{2}}$ ולקבל: $${\displaystyle E\approx mc^{2}\left[1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {Z^{4}\alpha ^{4}}{2n^{4}}}\left({\frac {n}{l+1/2}}-{\frac {3}{4}}\right)\right]}$$ עם ${\displaystyle \ n=n'+l+1}$. האיבר מסדר אפס הוא אנרגיית המנוחה, האיבר מסדר ראשון מתאים לספקטרום האנרגיה של אטום המימן, אך האיבר מסדר שני לא מתאר נכון את המבנה הדק של אטום המימן.

את משוואת קליין-גורדון עם מקור ${\displaystyle (\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\psi =\rho }$ ניתן לכתוב כ^[4]: $${\displaystyle \psi (x)=\psi _{0}(x)+\int d^{4}yG(x-y)\rho (y)}$$ כאשר ${\displaystyle \ \psi _{0}}$ הוא פתרון כלשהו של המשוואה ההומגנית ו- ${\displaystyle G(x)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik\cdot x}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}}$ היא פונקציית גרין של המשוואה (כלומר פתרון המשוואה עבור ${\displaystyle \ \rho =\delta (x)}$).

למשוואת קליין-גורדון מספר בעיות אשר מונעות את השימוש בה כהכללה יחסותית פשוטה של משוואת שרדינגר.

הבעיה הראשונה היא שלא ניתן לתאר בעזרת המשוואה חלקיקים בעלי ספין. בשל עובדה זו כשל הניסיון להשתמש במשוואה על מנת לתאר את תנועת האלקטרון (חלקיק בעל ספין 1/2) באטום המימן (לשם כך יש להשתמש במשוואת דיראק). מכאן שמשוואת קליין-גורדון מוגבלת ביחס למשוואת שרדינגר. בעזרת משוואת שרדינגר ניתן (ברמת העיקרון) לתאר חלקיקים בעלי ספין כל שהוא (כל עוד הוא אינו יחסותי) בעוד שמשוואת קליין-גורדון מוגבלת לחלקיקים בעלי ספין 0.

הבעיה השנייה, והמהותית יותר, היא בעיית האנרגיות וההסתברויות השליליות^[5].

ניתן להראות כי עבור משוואת קליין-גורדון לא קיימת צפיפות הסתברות חיובית נשמרת (כלומר מקיימת משוואת רציפות), זאת בניגוד למשוואת שרדינגר בה ${\displaystyle \ \psi ^{*}\psi }$ מהווה צפיפות הסתברות כזו. לכן לא ניתן ליחס משמעות הסתברותית לפתרונות משוואת קליין-גורדון. בנוסף קיימים למשוואה פתרונות לא פיזיקליים בעלי אנרגיה שלילית. עבור חלקיק חופשי ניתן להתעלם מפתרונות אלו, אך בהינתן אינטראקציה החלקיק יוכל לעבור גם לפתרונות בעלי אנרגיה שלילית. במקרה זה אין רמת יסוד (אין חסם תחתון לאנרגיה) והמערכת אינה יציבה, חלקיק יכול "ליפול" עוד ועוד מרמה לרמה ולפלוט כמות אינסופית של אנרגיה.

מסיבות אלו לא ניתן להשתמש במשוואת קליין-גורדון על מנת לתאר חלקיק יחיד, אך ניתן להשתמש בה במסגרת של תורת שדות קוונטית בה מספר החלקיקים לא קבוע, ואף יכולים להיות אנטי-חלקיקים בעזרתם ניתן להסביר את ההסתברויות והאנרגיות השליליות. במסגרת תורת השדות משוואת קליין-גורדון היא משוואה עבור אופרטור השדה הקוונטי היוצר או הורס חלקיקים.

• משוואת שרדינגר
• משוואת דיראק

• מאמר סקירה על משוואת קליין-גורדון ומשוואת דיראק:

• מאמר על ההיסטוריה של המשוואה:

• סיכומים בעברית על משוואת קליין מאת פרופ' יעקב בקנשטיין [3]

בנוסף ניתן לקרוא משוואת קליין-גורדון גם בספרים רבים העוסקים בתורת קוונטים מתקדמת או בתורת שדות, כגון: