אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת קבוצה S של אלגברה A נקראת בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס K, אם לא קיים פולינום לא טריוויאלי עם מקדמים מ-K שמתאפס ע"י תת-קבוצה סופית של איברי S. במילים אחרות, S היא בלתי תלויה אלגברית אם לכל ${\displaystyle \,\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ ב-S ולכל פולינום ${\displaystyle p\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ שאינו פולינום האפס, ${\displaystyle \,p(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0}$. בפרט, קבוצה בת איבר אחד ${\displaystyle \,\{\alpha \}}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל K אם ורק אם ${\displaystyle \alpha }$ הוא טרנסצנדנטי מעל K. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל K, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך. לדוגמה, תת-הקבוצה ${\displaystyle \,\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$ של שדה המספרים הממשיים היא לא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונלים

${\displaystyle \,p(x_{1},x_{2})=2{x_{1}}^{2}-x_{2}+1}$

מתקיים

${\displaystyle \,p({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}$.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של A מעל K.

השאלה האם הקבוצה ${\displaystyle \,\{\pi ,e\}}$ היא תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה ${\displaystyle \{\pi ,e^{\pi },\Gamma ({\frac {1}{4}})\}}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל ${\displaystyle \,\mathbb {Q} }$.

ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס על מנת להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט נקרא על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס. לינדמן הוכיח ב-1882 כי ${\displaystyle \,e^{\alpha }}$ הוא מספר טרנסצנדנטי לכל ${\displaystyle \alpha }$ אלגברי שונה מ-0. ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט הטוענת כי אם ${\displaystyle \,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ הם מספרים אלגברים בלתי תלויים ליניארית מעל ${\displaystyle \,\mathbb {Q} }$ אז המספרים ${\displaystyle \,e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}}}$ הם בלתי תלויים אלגברית מעל ${\displaystyle \,\mathbb {Q} }$.

• משפט הנורמליזציה של נתר

• אי-תלות אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)