Harppu , josta nabla on saanut nimensä
Nabla on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasakylkisen kolmion muotoinen symboli
∇ ∇ -->
{\displaystyle \nabla }
(∇). Sillä voidaan merkitä skalaarifunktion (esim. lämpötila) ja vektorifunktion (esim. sähkökenttä , jolla on suunta) gradienttia sekä vektorifunktion divergenssiä tai roottoria .
Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta .[ 1] Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.
Merkitykset
Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa
R
3
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}
, jonka koordinaatit ovat (x , y , z ), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:
∇ ∇ -->
=
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
i
+
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
j
+
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
k
,
{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial \over \partial z}\mathbf {k} ,}
[ 2]
missä
{
i
,
j
,
k
}
{\displaystyle \scriptstyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}
ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit . Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.
Vaikka
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
{\displaystyle \scriptstyle {\partial \over \partial x}}
,
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
{\displaystyle \scriptstyle {\partial \over \partial y}}
ja
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle \scriptstyle {\partial \over \partial z}}
ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja , niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja[ 2] ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori .
Gradientti
Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa
R
3
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}
määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia , joka määritellään seuraavasti:
grad
f
=
∇ ∇ -->
f
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
i
+
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
j
+
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
k
{\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\nabla f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} }
.
Funktion f gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa f kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa.[ 2] Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota f , joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (x ,y ). Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti .
Divergenssi
Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona . Jos funktio on
v
→ → -->
=
v
x
i
+
v
y
j
+
v
z
k
{\displaystyle {\vec {v}}=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} }
,
sen divergenssi on:
div
v
→ → -->
=
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
v
→ → -->
=
∂ ∂ -->
v
x
∂ ∂ -->
x
+
∂ ∂ -->
v
y
∂ ∂ -->
y
+
∂ ∂ -->
v
z
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}}
.[ 3]
Divergenssi on siis skalaarifunktio , samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.
Roottori
Avaruudessa
R
3
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}
määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona . Funktion
v
→ → -->
(
x
,
y
,
z
)
=
v
x
i
+
v
y
j
+
v
z
k
{\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} }
roottori on siis:
curl
v
→ → -->
=
∇ ∇ -->
× × -->
v
→ → -->
=
(
∂ ∂ -->
v
z
∂ ∂ -->
y
− − -->
∂ ∂ -->
v
y
∂ ∂ -->
z
)
i
+
(
∂ ∂ -->
v
x
∂ ∂ -->
z
− − -->
∂ ∂ -->
v
z
∂ ∂ -->
x
)
j
+
(
∂ ∂ -->
v
y
∂ ∂ -->
x
− − -->
∂ ∂ -->
v
x
∂ ∂ -->
y
)
k
{\displaystyle {\mbox{curl}}\;{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}=\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {i} +\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {j} +\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {k} }
.[ 4]
Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.
Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:
∇ ∇ -->
× × -->
v
→ → -->
=
|
i
j
k
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
z
v
x
v
y
v
z
|
{\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}
[ 4]
Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä .
Laplacen operaattori
Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin. Se määritellään seuraavasti:
Δ Δ -->
=
∂ ∂ -->
2
∂ ∂ -->
x
2
+
∂ ∂ -->
2
∂ ∂ -->
y
2
+
∂ ∂ -->
2
∂ ∂ -->
z
2
{\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}
.
Sekin voidaan esittää myös nablan avulla:
Δ Δ -->
=
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
=
∇ ∇ -->
2
{\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}
.
Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä , yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä .
Laskusääntöjä
Olkoon
f
,
g
:
R
3
→ → -->
R
{\textstyle f,g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }
skalaarifunktioita sekä
A
→ → -->
,
B
→ → -->
:
R
3
→ → -->
R
3
{\textstyle {\vec {A}},{\vec {B}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
vektorikenttiä siten, että jokainen niistä ovat derivoituvia ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia . Tällöin seuraavat nablan laskusäännöt ovat voimassa:[ 5]
∇ ∇ -->
(
f
g
)
=
f
∇ ∇ -->
g
+
g
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
(
f
A
→ → -->
)
=
(
∇ ∇ -->
f
)
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
+
f
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla \cdot \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\cdot {\vec {A}}+f\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)}
∇ ∇ -->
× × -->
(
f
A
→ → -->
)
=
(
∇ ∇ -->
f
)
× × -->
A
→ → -->
+
f
(
∇ ∇ -->
× × -->
A
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla \times \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\times {\vec {A}}+f\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)}
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
(
A
→ → -->
× × -->
B
→ → -->
)
=
(
∇ ∇ -->
× × -->
A
→ → -->
)
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
− − -->
A
→ → -->
⋅ ⋅ -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
B
→ → -->
)
{\displaystyle \nabla \cdot \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)\cdot {\vec {B}}-{\vec {A}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)}
∇ ∇ -->
× × -->
(
A
→ → -->
× × -->
B
→ → -->
)
=
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
)
A
→ → -->
+
(
B
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
A
→ → -->
− − -->
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
)
B
→ → -->
− − -->
(
A
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
B
→ → -->
{\displaystyle \nabla \times \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \cdot {\vec {B}}\right){\vec {A}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}-\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right){\vec {B}}-\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}}
∇ ∇ -->
(
A
→ → -->
⋅ ⋅ -->
B
→ → -->
)
=
A
→ → -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
B
→ → -->
)
+
B
→ → -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
A
→ → -->
)
+
(
A
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
B
→ → -->
+
(
B
→ → -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
)
A
→ → -->
{\displaystyle \nabla \left({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}\right)={\vec {A}}\times \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)+{\vec {B}}\times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)+\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}}
Lisäksi, mikäli
f
{\textstyle f}
:n ja
A
→ → -->
{\textstyle {\vec {A}}}
:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia, pätevät myös seuraavat säännöt:[ 5]
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
A
→ → -->
)
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=0}
(Roottorin divergenssi on aina nolla.)
∇ ∇ -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
f
)
=
0
→ → -->
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla f\right)={\vec {0}}}
(Gradientin roottori on aina nollavektori .)
∇ ∇ -->
× × -->
(
∇ ∇ -->
× × -->
A
→ → -->
)
=
∇ ∇ -->
(
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
A
→ → -->
)
− − -->
∇ ∇ -->
2
A
→ → -->
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)-\nabla ^{2}{\vec {A}}}
Tietotekniikka
Unicodessa nablan koodiarvo on U+2207. HTML :ssä se voidaan merkitä muodossa ∇
ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX -merkintäjärjestelmässä \nabla
.
Lähteet
Kirjallisuutta