El cálculo vectorial , análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones . Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física .
Consideramos los campos vectoriales , que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares , que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.
Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:
Gradiente : mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.Divergencia : mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.Laplaciano : relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial , de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.
Historia
El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton , quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.
Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial .
Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside [ 1]
Recientemente, se ha desarrollado el Cálculo Fraccional de Conjuntos Cálculo Fraccional [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8]
Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:
d
α
d
x
α
.
{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}
Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que
α
→
n
{\displaystyle \alpha \to n}
h
:
R
m
→
R
{\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
{
e
^
k
}
k
≥
1
{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}
α
{\displaystyle \alpha }
notación de Einstein :[ 9]
o
x
α
h
(
x
)
:=
e
^
k
o
k
α
h
(
x
)
.
{\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}
Denotando
∂
k
n
{\displaystyle \partial _{k}^{n}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
x
{\displaystyle x}
O
x
,
α
n
(
h
)
:=
{
o
x
α
:
∃
o
k
α
h
(
x
)
y
lim
α
→
n
o
k
α
h
(
x
)
=
∂
k
n
h
(
x
)
∀
k
≥
1
}
.
{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\}.}
Funciones de Rn en Rm . Campos escalares y vectoriales
Formularemos las definiciones para campos vectoriales . También serán válidas para campos escalares . Sea
f
:
V
⟶
W
{\displaystyle \mathbf {f} :V\longrightarrow W}
un campo vectorial que hace corresponder a todo punto P definido biunívocamente por su vector posición , un vector
f
(
O
P
)
{\displaystyle \mathbf {f} {\big (}\mathbf {OP} {\big )}}
O es nuestro origen de coordenadas .
V
⊆
R
n
,
W
⊆
R
m
,
{\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n},W\subseteq \mathbb {R} ^{m},}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
m
⩾
1
{\displaystyle m\geqslant 1}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
campo escalar . Para
m
>
1
{\displaystyle m>1}
campo vectorial . Utilizaremos la norma euclídea para hallar la magnitud de los vectores .
Si
a
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}
b
∈
R
m
.
{\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}.}
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
b
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} }
o bien,
f
(
x
)
→
b
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b} }
x
→
a
{\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }
para expresar lo siguiente:
lim
‖
x
−
a
‖
→
0
‖
f
(
x
)
−
b
‖
=
0
{\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}=0}
donde
‖
x
‖
{\displaystyle {\big \|}\mathbf {x} {\big \|}}
norma euclídea de
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
a
=
(
a
1
,
…
,
a
n
)
,
{\displaystyle \mathbf {x} ={\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )},\mathbf {a} ={\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )},}
lim
(
x
1
,
…
,
x
n
)
→
(
a
1
,
…
,
a
n
)
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
b
{\displaystyle \lim _{{\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}\to {\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}=\mathbf {b} }
o, de forma equivalente,
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
b
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} }
Decimos que una función
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
continua en
a
⇔
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {a} {\big )}}
Demostración
Sabemos que a) y b) en el teorema se verifican si
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
b
=
(
b
1
,
…
,
b
m
)
,
c
=
(
c
1
,
…
,
c
m
)
{\displaystyle \mathbf {b} ={\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )},\mathbf {c} ={\big (}c_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}}
a
)
f
(
x
)
=
[
f
1
(
x
)
,
…
,
f
m
(
x
)
]
,
g
(
x
)
=
[
g
1
(
x
)
,
…
,
g
m
(
x
)
]
lim
x
→
a
(
f
+
g
)
(
x
)
=
lim
x
→
a
[
(
f
1
+
g
1
)
(
x
)
,
…
,
(
f
m
+
g
m
)
(
x
)
]
=
[
lim
x
→
a
(
f
1
+
g
1
)
(
x
)
,
…
,
lim
x
→
a
(
f
m
+
g
m
)
(
x
)
]
=
[
lim
x
→
a
f
1
(
x
)
+
lim
x
→
a
g
1
(
x
)
,
…
,
lim
x
→
a
f
m
(
x
)
+
lim
x
→
a
g
m
(
x
)
]
=
(
b
1
+
c
1
,
…
,
b
m
+
c
m
)
=
(
b
1
,
…
,
b
m
)
+
(
c
1
,
…
,
c
m
)
=
b
+
c
{\displaystyle {\begin{array}{rl}a)&\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} )={\big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\big ]},\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} )={\Big [}g_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\\&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{1}(\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\big (}b_{1}+c_{1},\ldots ,b_{m}+c_{m}{\big )}={\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}+{\big (}c_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} \end{array}}}
b
)
lim
x
→
a
λ
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
λ
[
f
1
(
x
)
,
…
,
f
m
(
x
)
]
=
lim
x
→
a
[
λ
f
1
(
x
)
,
…
,
λ
f
m
(
x
)
]
=
[
lim
x
→
a
λ
f
1
(
x
)
,
…
,
lim
x
→
a
λ
f
m
(
x
)
]
=
[
λ
lim
x
→
a
f
1
(
x
)
,
…
,
λ
lim
x
→
a
f
m
(
x
)
]
=
λ
[
lim
x
→
a
f
1
(
x
)
,
…
,
lim
x
→
a
f
m
(
x
)
]
=
λ
(
b
1
,
…
,
b
m
)
=
λ
b
{\displaystyle {\begin{array}{rl}b)&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda {\Big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}={\Big [}\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&\lambda {\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lambda {\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}=\lambda \mathbf {b} \end{array}}}
c
)
(
f
⋅
g
)
(
x
)
−
b
⋅
c
=
[
f
(
x
)
−
b
]
⋅
[
g
(
x
)
−
c
]
+
b
⋅
[
g
(
x
)
−
c
]
+
c
⋅
[
f
(
x
)
−
b
]
{\displaystyle c)\quad {\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ={\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}\cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {b} \cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {c} \cdot {\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}}
Aplicando la desigualdad triangular y la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos
|
(
f
⋅
g
)
(
x
)
−
b
⋅
c
|
⩽
‖
f
(
x
)
−
b
‖
⋅
‖
g
(
x
)
−
c
‖
+
‖
b
‖
⋅
‖
g
(
x
)
−
c
‖
+
‖
c
‖
⋅
‖
f
(
x
)
−
b
‖
⇒
0
⩽
lim
‖
x
−
a
‖
→
0
|
(
f
⋅
g
)
(
x
)
−
b
⋅
c
|
⩽
lim
‖
x
−
a
‖
→
0
‖
f
(
x
)
−
b
‖
⋅
lim
‖
x
−
a
‖
→
0
‖
g
(
x
)
−
c
‖
+
‖
b
‖
⋅
lim
‖
x
−
a
‖
→
0
‖
g
(
x
)
−
c
‖
+
‖
c
‖
lim
‖
x
−
a
‖
→
0
‖
f
(
x
)
−
b
‖
=
0
⋅
0
+
‖
b
‖
⋅
0
+
‖
c
‖
⋅
0
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{l}{\Big |}{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big |}\leqslant {\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\Rightarrow \\0\leqslant \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big |}{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big |}\leqslant \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\cdot \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+\\{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}=0\cdot 0+{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot 0+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\cdot 0=\\0\end{array}}}
, como queríamos demostrar.
d
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
,
c
=
b
⇒
lim
x
→
a
‖
f
(
x
)
‖
2
=
‖
b
‖
2
{\displaystyle d)\quad \mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )},\mathbf {c} =\mathbf {b} \Rightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}^{2}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}^{2}}
Demostración
Sean
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}
b
=
g
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}}
lim
‖
x
−
a
‖
→
0
‖
f
[
g
(
x
)
]
−
f
[
g
(
a
)
]
‖
=
lim
‖
y
−
b
‖
→
0
‖
f
(
y
)
−
f
(
b
)
‖
=
0
⇒
lim
x
→
a
f
[
g
(
x
)
]
=
f
[
g
(
a
)
]
{\displaystyle {\begin{array}{l}\lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}-\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}{\Big \|}=\lim _{{\big \|}\mathbf {y} -\mathbf {b} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {b} {\big )}{\Big \|}=0\Rightarrow \\\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}\end{array}}}
como queríamos demostrar.
Derivadas direccionales
Derivada de un campo escalar respecto a un vector
Derivadas parciales
∂
f
∂
x
k
=
lim
h
→
0
f
(
x
1
,
…
,
x
k
+
h
,
…
,
x
n
)
−
f
(
x
1
,
…
,
x
k
,
…
,
x
n
)
h
{\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k}+h,\ldots ,x_{n}{\big )}-f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}{\big )}}{h}}}
Si derivamos la expresión anterior respecto a una segunda variable,
x
j
{\displaystyle x_{j}}
∂
2
f
∂
x
j
∂
x
k
{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}}
∂
f
∂
x
k
{\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
x
j
,
∀
j
≠
k
{\displaystyle x_{j},\quad \forall j\neq k}
La diferencial
La anterior ecuación es la fórmula de Taylor de primer orden para
f
(
a
+
v
)
{\displaystyle f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}}
Teorema de unicidad de la diferencial
Demostración
a
)
v
=
h
y
,
h
∈
R
,
lim
‖
v
‖
→
0
f
(
x
+
v
)
=
lim
‖
v
‖
→
0
f
(
x
+
h
y
)
=
f
(
x
)
+
f
L
(
h
y
)
=
f
(
x
)
+
h
f
L
(
y
)
⇒
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
y
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
;
y
)
=
f
L
(
y
)
{\displaystyle {\begin{array}{rl}a)&\mathbf {v} =h\mathbf {y} ,\quad h\in \mathbb {R} ,\\&\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}=f{\big (}\mathbf {x} {\big )}+f_{L}{\big (}h\mathbf {y} {\big )}=\\&f{\big (}\mathbf {x} {\big )}+hf_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow \\&\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}=f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\end{array}}}
como queríamos demostrar.
b
)
{\displaystyle b)}
y
{\displaystyle y}
{
e
1
,
…
,
e
n
}
,
f
L
(
y
)
=
f
L
(
∑
k
=
1
n
y
k
e
k
)
=
∑
k
=
1
n
y
k
f
L
(
e
k
)
=
∑
k
=
1
n
y
k
f
′
(
x
;
e
k
)
=
∑
k
=
1
n
y
k
∂
f
∂
x
k
{\displaystyle {\begin{array}{l}{\big \{}\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}{\big \}},f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big (}\sum _{k=1}^{n}y_{k}\mathbf {e} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f_{L}{\big (}\mathbf {e} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {e} _{k}{\big )}=\\\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\end{array}}}
como queríamos demostrar.
Regla de la cadena
Diferencial de un campo vectorial
Expresando
f
′
(
x
;
y
)
{\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}}
f
′
(
x
;
y
)
=
[
f
1
′
(
x
;
y
)
,
…
,
f
m
′
(
x
;
y
)
]
{\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}={\Big [}f'_{1}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )},\ldots ,f'_{m}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}{\Big ]}}
Esta es la fórmula de Taylor de primer orden para
f
.
f
L
(
v
)
=
f
′
(
x
;
v
)
{\displaystyle \mathbf {f} .\quad \mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} '{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {v} {\big )}}
La matriz de
f
′
{\displaystyle \mathbf {f} '}
matriz jacobiana .
Diferenciabilidad implica continuidad
Se deduce fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orden ya vista.
Regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales
∂
2
f
∂
x
i
∂
x
j
=
∂
2
f
∂
x
j
∂
x
i
∀
i
≠
j
⇔
{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\quad \forall i\neq j\Leftrightarrow }
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
Un campo escalar tiene un máximo en
x
=
a
⇔
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow }
n-bola
B
(
a
)
|
∀
x
∈
B
(
a
)
f
(
x
)
⩽
f
(
a
)
{\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}
Un campo escalar tiene un mínimo en
x
=
a
⇔
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow }
B
(
a
)
|
∀
x
∈
B
(
a
)
f
(
x
)
⩾
f
(
a
)
{\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}
Un campo escalar tiene un punto de ensilladura
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
∀
B
(
a
)
∃
x
|
f
(
x
)
⩽
f
(
a
)
∧
∃
x
|
f
(
x
)
⩾
f
(
a
)
{\displaystyle \forall B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}\land \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}
Función con un punto de ensilladura Para saber si es uno de los casos anteriores:
Obtenemos
x
|
∂
f
∂
x
k
=
0
∀
k
|
1
⩽
k
⩽
n
{\displaystyle \mathbf {x} {\Big |}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=0\qquad \forall k{\Big |}1\leqslant k\leqslant n}
Obtenemos la matriz hessiana de f. Sea esta
F
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}
F
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}
definida positiva
⇒
f
{\displaystyle \Rightarrow f}
mínimo local (mínimo relativo ) en
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
F
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}
definida negativa
⇒
f
{\displaystyle \Rightarrow f}
máximo local (máximo relativo ) en
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
F
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}
indefinida
⇒
f
{\displaystyle \Rightarrow f}
punto de ensilladura en
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
En lo anteriormente expuesto, hemos supuesto que
∂
2
f
∂
x
i
∂
x
j
{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}
∀
i
,
j
|
1
⩽
i
⩽
n
,
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \forall i,j{\big |}1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}
Referencias
Enlaces externos
![{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big [}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big ]}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e7d295bd1d5497f0c98c4d16c52d2720d749d0)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}a)&\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} )={\big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\big ]},\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} )={\Big [}g_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\\&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{1}(\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\big (}b_{1}+c_{1},\ldots ,b_{m}+c_{m}{\big )}={\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}+{\big (}c_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95faf263a1baf0db2c17757d92d4652b8000a3c0)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}b)&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda {\Big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}={\Big [}\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&\lambda {\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lambda {\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}=\lambda \mathbf {b} \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fef6b37ec01f2a38f73284854a3e4d6b80462c)
![{\displaystyle c)\quad {\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ={\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}\cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {b} \cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {c} \cdot {\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66af9fd2140f9780543400554816ae1043fbe68f)
![{\displaystyle {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e050e088fa87cd14516180f245242f9c90b4d73)
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}-\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}{\Big \|}=\lim _{{\big \|}\mathbf {y} -\mathbf {b} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {b} {\big )}{\Big \|}=0\Rightarrow \\\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0972f84a181ff7e0e1de0688a2b517a3becc0b)
![{\displaystyle g(t)=f{\Big [}\mathbf {x} {\big (}t{\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24d0a6ebe6f93545e22280032f94396d0320cf9)
![{\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}={\Big [}f'_{1}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )},\ldots ,f'_{m}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b886201a23ee2c88781d76fe6abf5585db77bc24)
![{\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} '{\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\circ \mathbf {g} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee4c8d71f25c0b0392d15f41ec44fa1b485ee56)
