Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

• definiční obor a obor hodnot
• určíme periodičnost, sudost a lichost funkce a její ohraničenost
• průsečíky grafu se souřadnými osami
  • Průsečík grafu funkce ${\displaystyle f(x)}$ s osou ${\displaystyle y}$ získáme dosazením hodnoty ${\displaystyle x=0}$ do funkce ${\displaystyle f}$, tzn. získáme hodnotu ${\displaystyle y_{0}=f(0)}$.
  • Průsečík grafu funkce ${\displaystyle f(x)}$ s osou ${\displaystyle x}$ získáme řešením rovnice ${\displaystyle f(x)=0}$.
• intervaly spojitosti funkce
• body nespojitosti a limity v bodech nespojitosti
• určíme první derivaci funkce, kterou využijeme k určení
  • intervalů monotonie
  • stacionárních bodů a lokálních extrémů
• vypočteme druhou derivaci a s její pomocí určíme
  • intervaly konvexnosti a konkávnosti
  • inflexní body
• rovnice asymptot
• funkční hodnoty ve vybraných význačných bodech (tím jsou myšleny nejen extrémy či inflexní body, ale také body, které nám mohou poskytnout nějakou informaci o průběhu funkce mezi nimi)

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Vyšetřujme průběh funkce ${\displaystyle y=x\;\ln x}$.

Zatímco ${\displaystyle x}$ je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro ${\displaystyle x>0}$. Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude ${\displaystyle (0,+\infty )}$.

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro ${\displaystyle x>0}$, není periodická, ani lichá nebo sudá.

Limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0+}x\;\ln x=\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\rightarrow 0+}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=0}$

Funkci lze tedy definovat také v bodě ${\displaystyle y(0)=0}$, tzn. rozšířit definiční obor na ${\displaystyle \langle 0,+\infty )}$.

Průsečík s osou ${\displaystyle y}$ získáme dosazením ${\displaystyle x=0}$, tedy ${\displaystyle y=0}$.

Průsečík s osou ${\displaystyle x}$ získáme z rovnice ${\displaystyle x\;\ln x=0}$, která má řešení ${\displaystyle x_{1}=0,x_{2}=1}$.

První a druhá derivace funkce jsou

${\displaystyle y^{\prime }=\ln x+1}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }={\frac {1}{x}}}$

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí ${\displaystyle y^{\prime }>0}$, což lze po dosazení zapsat jako ${\displaystyle \ln x>-1}$. Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro ${\displaystyle x>{\frac {1}{e}}}$.

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí ${\displaystyle y^{\prime }<0}$, tzn. ${\displaystyle \ln x<-1}$. Řešením získáme, že funkce je klesající pro ${\displaystyle x<{\frac {1}{e}}}$.

V bodě ${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{e}}}$ je ${\displaystyle y^{\prime }(x_{3})=0}$. Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť ${\displaystyle y^{\prime \prime }({\frac {1}{e}})=e>0}$. Hodnota funkce v tomto bodě je ${\displaystyle y({\frac {1}{e}})=-{\frac {1}{e}}}$.

Vzhledem k tomu, že ${\displaystyle y^{\prime \prime }>0}$ na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť ${\displaystyle k=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x=+\infty }$.

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

• Stacionární bod
• Extrém funkce
• Konvexnost a konkávnost funkce
• Monotónní funkce

• Vykreslování grafů funkcí (i jejich derivací a integrálů)