Fermatovo číslo

Fermatovým číslem se v matematice rozumí takové přirozené číslo, které je rovno

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}$

pro nějaké nezáporné celé číslo ${\displaystyle n}$. Svoje jméno tato čísla získala podle matematika Pierra de Fermata, který je zkoumal jako jeden z prvních.

Prvních devět Fermatových čísel je:

V roce 2008 byl znám prvočíselný rozklad pouze prvních dvanácti Fermatových čísel F₀ až F₁₁.^[1]

Fermat věřil, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla (takovým číslům se pak zkráceně říká Fermatovo prvočíslo). To bylo vyvráceno v roce 1732 Leonhardem Eulerem. Euler dokázal, že dělitel čísla F_n musí mít podobu k2ⁿ⁺² + 1. Pro ${\displaystyle n=5}$ tedy stačí zkoušet dělit čísly 128k + 1 a Euler objevil, že

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.\;}$

V rozporu s Fermatovým očekáváním se dodnes (2008) nepodařilo objevit žádná další Fermatova prvočísla kromě F₀, F₁, F₂, F₃ a F₄, která znal už Fermat. Vzhledem k tomu, jak rychle Fermatova čísla rostou, se o Fermatových číslech pro velká n mnoho neví a pojí se k nim následující otevřené problémy:

• jsou všechna Fermatova čísla F_n pro ${\displaystyle n>4}$ složená?
• existuje nekonečně mnoho Fermatových složených čísel?
• existuje nekonečně mnoho Fermatových prvočísel?

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat number na anglické Wikipedii.

• (anglicky) Pod číslem A000215 jsou Fermatova čísla evidována v On-line databázi celočíselných posloupností