Teorema de Wilson

El teorema de Wilson, atribuït a John Wilson (1741-1793), però demostrat per Lagrange el 1771,^[1] estableix que, el nombre enter ${\displaystyle p}$ és primer si, i només si,

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1\ ({\hbox{mod}}\ p)}$

això és, si i només si, ${\displaystyle (p-1)!+1}$ és divisible entre ${\displaystyle p}$.

El teorema de Wilson recull el fet que ${\displaystyle p}$ és primer si, i només si, l'anell ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ és íntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant ${\displaystyle 1}$ com ${\displaystyle p-1}$ són els únics elements que són inversos de si mateixos, el producte

${\displaystyle (p-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-2)\cdot (p-1)}$

conté ${\displaystyle {\frac {p-3}{2}}}$ parelles d'elements amb el seu invers. En conseqüència,

${\displaystyle (p-1)!=1\cdot (2\cdot 3\cdots (p-2))\cdot (p-1)=1\cdot (1\cdot 1\cdots 1)\cdot (p-1)=p-1\equiv -1\ ({\hbox{mod}}\ p)}$

• Si ${\displaystyle p}$ no és primer i ${\displaystyle p=q\cdot r}$ amb, posem, ${\displaystyle q<r}$, com que ${\displaystyle q<r<p}$, és clar que, a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, s'esdevé que ${\displaystyle q\cdot r\equiv 0\ ({\hbox{mod}}\ p)}$ i, per tant, ${\displaystyle (p-1)!\equiv 0\ ({\hbox{mod}}\ p)}$.

• Si ${\displaystyle p}$ no és primer, però és la potència ${\displaystyle k}$ d'un nombre primer ${\displaystyle q}$, aleshores, excepte el cas ${\displaystyle p=4=2^{2}}$, el nombre de vegades que apareix el factor ${\displaystyle q}$ a ${\displaystyle (p-1)!}$ no és inferior a ${\displaystyle k}$. En conseqüència, també ${\displaystyle (p-1)!\equiv 0\ ({\hbox{mod}}\ p)}$.

• ${\displaystyle (4-1)!=3!=6\equiv 2\neq -1\ ({\hbox{mod}}\ 4)}$