Superfície de revolució

Una superfície de revolució és la que es genera mitjançant la rotació d'una corba plana, o generatriu, al voltant d'una recta directriu, anomenada eix de rotació, la qual es troba en el mateix pla que la corba. Exemples comuns d'una superfície de revolució són:

• Una superfície de revolució cilíndrica és generada per la rotació d'una línia recta, paral·lela a l'eix de rotació, al voltant d'aquest; aquesta superfície determina un volum anomenat cilindre, que s'anomena sòlid de revolució, la distància entre l'eix i la recta s'anomena ràdio.

• Una superfície de revolució cònica és generada per la rotació d'una recta al voltant d'un eix al qual interseca en un punt, anomenat vèrtex o àpex, de manera que l'angle sota el qual la generatriu talla l'eix és constant, la superfície cònica delimita al volum denominat con.

• Una superfície de revolució esfèrica està generada per la rotació d'un semicercle al voltant del seu diàmetre; aquesta tanca al sòlid de revolució anomenat esfera.

• Una superfície de revolució toroïdal està generada per la rotació d'una circumferència al voltant d'un eix que no la interseca en cap punt, aquesta superfície es denomina toro.

La utilització de superfícies de revolució és essencial en diversos camps de la física i l'enginyeria, així com en el disseny, quan es dibuixen objectes digitalment, les seves superfícies poden ser calculades d'aquesta manera sense necessitat de mesurar la longitud o el radi de l'objecte.

La terrisseria, i el tornejat industrial, modelen i modelen volums amb variades superfícies de revolució de gran utilitat i ús quotidià.

Si la corba està definida per les funcions ${\displaystyle x(t)}$ i ${\displaystyle y(t)}$, pertanyent ${\displaystyle t}$ a un interval ${\displaystyle [a,b]}$ i sent l'eix de revolució l'eix coordenat ${\displaystyle y}$, l'àrea ${\displaystyle A}$ estarà donada, doncs, per la integral

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}$

sent ${\displaystyle x(t)}$ sempre positiva. Aquesta equació és equivalent al Teorema del centroide de Pappus. Així mateix, la quantitat

${\displaystyle \left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}$

es deriva del teorema de Pitàgores i representa un segment diferencial de l'arc de la corba, com en l'equació de la longitud d'arc. La quantitat ${\displaystyle 2\pi x(t)}$ és el camí descrit pel centroide d'aquest segment girant al voltant de l'eix de revolució.

Si la corba està definida per la funció ${\displaystyle y=f(x)}$, la integral es transforma en

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$

per a una corba que gira al voltant de l'eix de les abscisses, i

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy}$

per a una corba que gira al voltant de l'eix de les ordenades.

Com a exemple, l'esfera, amb un radi unitari, està generada per la corba ${\displaystyle x(t)=sin(t)}$ i ${\displaystyle y(t)=cos(t)}$ quan ${\displaystyle t}$ pren valors en l'interval ${\displaystyle [0,\pi ]}$. La seva àrea, per tant, serà

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,dt=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt=4\pi }$.

Una superfície de revolució pot ser parametritzada mitjançant una coordenada al llarg de la seva generatriu o i una coordenada angular v de tal manera que:

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(\rho (u)\cos v,\rho (u)\sin v,h(u))}$ par ${\displaystyle v\in [0,2\pi )}$

Les corbes amb o = constant, són cercles anomenats paral·lels, mentre que les línies amb v = constant, anomenats meridiàs són línies geodèsicas de longitud i curvatura mínimes. A més els coeficients de la primera forma fondamental o tensor mètric d'una superfície resulten ser:

${\displaystyle I_{kl}(u,v)={\begin{pmatrix}E(u,v)&F(u,v)\\F(u,v)&G(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho (u)^{2}(u)+h(u)^{2}(u)&0\\0&\rho ^{2}(u)\end{pmatrix}}}$

Pel que la mètrica és diagonal. Quant a la segona forma fondamental relacionada amb la curvatura de la superfície també pren una forma particularment simple:

${\displaystyle II_{kl}(u,v)={\begin{pmatrix}L(u,v)&M(u,v)\\M(u,v)&N(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\rho _{u}h_{uu}-\rho _{uu}h_{u}}{\sqrt {E}}}&0\\0&{\frac {\rho h_{u}}{\sqrt {E}}}\end{pmatrix}}}$

• Sòlid de revolució
• Banya de Gabriel

• Weisstein, Eric W., «Superfície de revolució» a MathWorld (en anglès).