Sumatori de Riemann

En matemàtiques, un sumatori de Riemann és un mètode per aproximar l'àrea entre el gràfic d'una corba i l'eix x; és a dir una aproximació de la integral. Prenent el límit quan el nombre de termes tendeix a infinit es pot fer servir per a definir l'operació d'integració,

El sumatori de Riemann, rep aquest nom en honor del matemàtic alemany Bernhard Riemann.

Sia la funció f: D → R, on D és un subconjunt del conjunt dels nombres reals R, i sia I = [a, b] un interval tancat contingut a D. Un conjunt finit de punts {x₀, x₁, x₂, ... x_n} tals que a = x₀ < x₁ < x₂ ... < x_n = b Crea una partició

P = {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}

de I.

si P és una partició amb n elements de I, llavors el sumatori de Riemann de f sobre I amb la partició P es defineix com

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

on x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La selecció de y_i en aquest interval és arbitrària. Si y_i = x_i-1 per a tot i, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann esquerrà. Si y_i = x_i, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann dret. Si y_i = (x_i+x_i-1)/2, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann mig. Calculant la mitja dels sumatoris de Rieman dret i esquerre s'obté l'anomenat sumatori trapezoïdal.

Si es té

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$

on v_i és el suprem de f sobre [x_i-1, x_i]; llavors S és per definició un sumatori de Riemann superior. De manera similar, si v_i és l'ínfim de f sobre [x_i−1, x_i], llavors S é un sumatori de Riemann inferior.

Qualsevol sumatori de Riemann en una partició donada (és a dir, per a qualsevol elecció de y_i between x_i-1 i x_i) està entre els sumatoris de Riemann inferior i superior. Una funció és Riemann integrable si els sumatoris de Riemann inferior i superior esdevenen cada cop més propers a mesura que la partició es fa més i més fina. Aquest fet també es pot fer servi en integració numèrica.

Tal com s'ha establert més amunt, hi ha quatre mètodes habituals per a calcular els sumatoris de Riemann: esquerra, dreta, mig i trapezoïdal. Tot seguit s'estudiaran pel cas senzill en el que les particions es construeixen amb intervals de la mateixa mida. Així, si es divideix l'interval [a, b] en n subintervals, cada un tindrà longitud Q = (b − a) / n. Els punts de la partició seran

a, a + Q, a + 2Q, ..., a + (n−2)Q, a + (n−1)Q, b.

En el sumatori de Riemann esquerra la funció s'aproxima pel valor que té al punt extrem de l'esquerra de l'interval. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent això per i = 0, 1, ..., n−1, i sumant les àrees resultants s'obté

${\displaystyle Q\left[f(a)+f(a+Q)+f(a+2Q)+\cdots +f(b-Q)\right].\,}$

Els sumatori de Riemann esquerra serà una sobre estimació si f és monòtona decreixent a l'interval, i una subestimació si és monòtona creixent.

Aquí, per a cada interval s'aproximarà f pel valor que té a l'extrem dret. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent-ho per i = 1, 2, ..., n−1, n, i sumant les àrees que en resulten s'obté

${\displaystyle Q\left[f(a+Q)+f(a+2Q)+\cdots +f(b)\right].\,}$

El sumatori de Riemann dret serà una sobreestimació di la funció f és monòtona creixent, i una subestimació si és monòtona decreixent.

En aquest cas s'agafa com aproximació de f a cada interval e seu valor al punt mitjà. Pel primer interval es té f(a + Q/2), pel següent f(a + 3Q/2), i així fins a arribar a f(b-Q/2). Sumant les àrees, es troba

${\displaystyle Q\left[f(a+Q/2)+f(a+3Q/2)+\cdots +f(b-Q/2)\right].}$

L'error d'aquesta fórmula serà

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)-A_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{(24n^{2})}},}$

on ${\displaystyle M_{2}}$ és el valor màxim del valor absolut de ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$ a l'interval.

En aquest cas, els valors de la funció f en un interval s'aproximaran per la mitja aritmètica dels valors que pren la funció als extrems esquerra i dret de l'interval. De forma similar a l'anterior, un simple càlcul emprant la fórmula de l'àrea ${\displaystyle A=h(b_{1}+b_{2})/2}$ per un trapezi de cares paral·leles b₁, b₂ i alçada h es troba que el sumatori de Riemann és

${\displaystyle {\frac {1}{2}}Q\left[f(a)+2f(a+Q)+2f(a+2Q)+2f(a+3Q)+\cdots +f(b)\right].}$

L'error d'aquesta aproximació per la integral és

${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)-A_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{(12n^{2})}},}$

on ${\displaystyle M_{2}}$ és el valor màxim del valor absolut de ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x).}$

• Integral de Riemann-Stieltjes
• Integral de Lebesgue
• Mètode de Simpson

• Una simulació que mostra la convergència dels sumatoris de Riemann