Incentre

L'incentre d'un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels seus angles. Els punts de tall de les bisectrius exteriors amb les interiors s'anomenen exincentres o excentres del triangle. L'incentre sempre és interior al triangle i els exincentres li són exteriors.

Sigui el triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ i considerem les bisectrius dels angles ${\displaystyle {\widehat {A}}=2\alpha }$ i ${\displaystyle {\widehat {B}}=2\beta }$.

• Vegem primer que aquestes bisectrius es tallen: com que ${\displaystyle {\widehat {A}}+{\widehat {B}}+{\widehat {C}}=180^{\circ }}$, tenim que ${\displaystyle {\widehat {A}}+{\widehat {B}}=2\alpha +2\beta <180^{\circ }}$ i, per tant, ${\displaystyle \alpha +\beta <90^{\circ }<180^{\circ }}$. Ara, el cinquè postulat d'Euclides demana que les bisectrius es tallin en un punt ${\displaystyle I}$, situat en el semiplà definit pel costat ${\displaystyle AB}$ que conté els angles ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$, és a dir, el semiplà que conté el triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$. De la mateixa manera, les bisectrius dels angles ${\displaystyle {\widehat {A}}=2\alpha }$ i ${\displaystyle {\widehat {C}}=2\gamma }$ es tallen en un punt del semiplà definit pel costat ${\displaystyle AC}$ que conté el triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ i les bisectrius dels angles ${\displaystyle {\widehat {B}}=2\beta }$ i ${\displaystyle {\widehat {C}}=2\gamma }$ es tallen en un punt del semiplà definit pel costat ${\displaystyle BC}$ que conté el triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Ara trobem on es tallen: l'angle ${\displaystyle {\widehat {A}}}$, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta ${\displaystyle AB}$ que conté el vèrtex ${\displaystyle C}$ i el determinat per la recta ${\displaystyle AC}$ que conté el vèrtex ${\displaystyle B}$. Igualment, l'angle ${\displaystyle {\widehat {B}}}$, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta ${\displaystyle AB}$ que conté el vèrtex ${\displaystyle C}$ i el determinat per la recta ${\displaystyle BC}$ que conté el vèrtex ${\displaystyle A}$. En conseqüència, el punt ${\displaystyle I}$ d'intersecció de les bisectrius és a la intersecció d'aquests dos semiplans i de semiplà del paràgraf anterior, és a dir, a l'interior del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$. De la mateixa manera, qualsevol altra parella de bisectrius també es tallen en un punt interior del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Finalment, el punt ${\displaystyle I}$, com que pertany a la bisectriu de l'angle ${\displaystyle {\widehat {A}}}$, equidista dels seus costats ${\displaystyle AB}$ i ${\displaystyle AC}$ i, com que pertany a la bisectriu de l'angle ${\displaystyle {\widehat {B}}}$, equidista dels seus costats ${\displaystyle BA}$ i ${\displaystyle BC}$. En conseqüència, el punt ${\displaystyle I}$ equidista dels costats ${\displaystyle CA}$ i ${\displaystyle CB}$ de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ i, per tant, pertany a la bisectriu de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$. Les tres bisectrius del triangle es tallen, doncs, en el punt ${\displaystyle I}$, que és l'incentre del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Ara considerem les bisectrius exteriors dels angles ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ i ${\displaystyle {\widehat {B}}}$, és a dir, les bisectrius dels angles ${\displaystyle 2\delta }$ i ${\displaystyle 2\varepsilon }$ i la bisectriu interior de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}=2\gamma }$.

• Com que ${\displaystyle 2\delta +2\epsilon =180^{\circ }-{\widehat {A}}+180^{\circ }-{\widehat {B}}=360^{\circ }-2(\alpha +\beta )}$, tenim que ${\displaystyle \delta +\epsilon =180^{\circ }-(\alpha +\beta )<180^{\circ }}$ i, novament segons el cinquè postulat d'Euclides, les bisectrius dels angles ${\displaystyle 2\delta }$ i ${\displaystyle 2\varepsilon }$ es tallen en un punt ${\displaystyle I_{C}}$ del semiplà determinat pel costat ${\displaystyle AB}$ que no conté el triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$. Igualment, qualsevol altra parella de bisectrius exteriors es tallen en un punt exterior al triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• L'angle ${\displaystyle 2\delta }$ determinat pel costat ${\displaystyle AB}$ i la prolongació del costat ${\displaystyle AC}$ és la intersecció del semiplà definit per la recta ${\displaystyle AB}$ que no conté el triangle i el semiplà definit per la recta ${\displaystyle AC}$ que sí conté el triangle. En particular, la bisectriu d'aquest angle és a aquest darrer semiplà. De la mateixa manera, la bisectriu de l'angle ${\displaystyle 2\varepsilon }$ determinat pel costat ${\displaystyle AB}$ i la prolongació del costat ${\displaystyle BC}$ és al semiplà definit per la recta ${\displaystyle BC}$ que sí conté el triangle. Per tant, el punt ${\displaystyle I_{C}}$ d'intersecció de les dues bisectrius és a la intersecció dels dos semiplans, és a dir, a l'interior de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$.
• També, ${\displaystyle {\widehat {B}}+{\widehat {C}}=2\beta +2\gamma <180^{\circ }}$, o sigui que ${\displaystyle \beta +\gamma <90^{\circ }}$ i, com que, ${\displaystyle \beta +\varepsilon =90^{\circ }}$, resulta ${\displaystyle 2\beta +\gamma +\varepsilon ={\widehat {B}}+\gamma +\varepsilon <180^{\circ }}$ i, altra vegada, del cinquè postulat d'Euclides, deduïm que les bisecrius dels angles ${\displaystyle {\widehat {C}}=2\gamma }$ i ${\displaystyle 2\varepsilon }$ es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat ${\displaystyle AB}$ que no conté el triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ i a l'interior de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$. Interseccions similars existeixen per a cada parella de bisectriu exterior i de bisectriu interior de vèrtexs diferents del triangle.
• Però el punt ${\displaystyle I_{C}}$ equidista de la recta ${\displaystyle AC}$ i de la recta ${\displaystyle AB}$, perquè pertany a la bisectriu de l'angle ${\displaystyle 2\delta }$. També equidista de la recta ${\displaystyle BC}$ i de la recta ${\displaystyle AB}$, perquè pertany a la bisectriu de l'angle ${\displaystyle 2\varepsilon }$. En conseqüència, equidista de les rectes ${\displaystyle AC}$ i ${\displaystyle BC}$, com que jau a l'interior de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$, és de la bisectriu d'aquest angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$. Les dues bisectrius exteriors corresponents als vèrtexs ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ i la bisectriu interior de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ es tallen en el punt ${\displaystyle I_{C}}$, a l'exterior del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$, però a l'interior de l'angle ${\displaystyle {\widehat {C}}}$. Aquest punt és un exincentre del triangle i, de la mateixa manera, en resulta l'existència i posició dels altres dos exincentres, ${\displaystyle I_{A}}$ i ${\displaystyle I_{B}}$.

Les bisectrius d'un triangle són línies cevianes. Segons el teorema de la bisectriu hi ha proporcionalitat entre els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat. Aleshores,

${\displaystyle {\dfrac {PB}{PC}}={\dfrac {AB}{AC}},\qquad {\dfrac {QC}{QA}}={\dfrac {BC}{BA}},\qquad {\dfrac {RA}{RB}}={\dfrac {CA}{CB}}}$

Aleshores,

${\displaystyle {\dfrac {PB}{PC}}\,{\dfrac {QC}{QA}}\,{\dfrac {RA}{RB}}={\dfrac {AB}{AC}}\,{\dfrac {BC}{BA}}\,{\dfrac {CA}{CB}}=1}$

i, segons el teorema de Ceva, les tres bisectrius es tallen en un punt: l'incentre del triangle. Un ús similar dels teoremes de la bisectriu i de Ceva amb les bisectrius exteriors i interiors mostra l'existència dels exincentres.

Les coordenades cartesianes de l'incentre són una mitjana ponderada de les coordenades dels tres vèrtexs. Si els tres vèrtexs són ${\displaystyle A=(x_{a},y_{a})}$, ${\displaystyle B=(x_{b},y_{b})}$, i ${\displaystyle C=(x_{c},y_{c})}$, els vectors posició respectius són ${\displaystyle {\vec {A}}={x_{a} \choose y_{a}}}$, ${\displaystyle {\vec {B}}={x_{b} \choose y_{b}}}$ i ${\displaystyle {\vec {C}}={x_{c} \choose y_{c}}}$, i els costats oposats del triangle tenen com a longituds ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, i ${\displaystyle c}$, llavors el vector posició de l'incentre és

${\displaystyle {\vec {I}}={\dfrac {a}{a+b+c}}\,{\vec {A}}+{\dfrac {b}{a+b+c}}\,{\vec {B}}+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,{\vec {C}}}$

i l'incentre ${\displaystyle I}$ és a

${\displaystyle I=\left({\dfrac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)}$

En efecte,

• Pel teorema de la bisectriu, aplicat a les bisectrius dels angles ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ i ${\displaystyle {\widehat {B}}}$,

${\displaystyle {\dfrac {c}{b}}={\dfrac {BP}{PC}}={\dfrac {BP}{BC-BP}}={\dfrac {BP}{a-BP}},\qquad {\dfrac {c}{a}}={\dfrac {AQ}{QC}}={\dfrac {AQ}{AC-AQ}}={\dfrac {AQ}{b-AQ}}}$

que dona

${\displaystyle BP={\dfrac {ac}{b+c}},\qquad AQ={\dfrac {bc}{a+c}}}$

• Pels vectors ${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {AQ}}}$ tenim:

${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}={\dfrac {BP}{BC}}\,{\overrightarrow {BC}}={\dfrac {BP}{a}}\,{\overrightarrow {BC}}={\dfrac {c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}},\qquad {\overrightarrow {AQ}}={\dfrac {AQ}{AC}}\,{\overrightarrow {AC}}={\dfrac {AQ}{b}}\,{\overrightarrow {AC}}={\dfrac {c}{a+c}}\,{\overrightarrow {AC}}}$

• Pels vectors ${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {BI}}}$ hi ha nombres reals ${\displaystyle \lambda }$ i ${\displaystyle \mu }$ amb ${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}=\lambda {\overrightarrow {AP}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {BI}}=\mu {\overrightarrow {BQ}}}$. Aleshores, tot expressant el vector ${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}}$ d'aquestes dues maneres, ${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}=\lambda {\overrightarrow {AP}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BI}}}$, tenim:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcl}{\overrightarrow {AI}}&=&\lambda {\overrightarrow {AP}}=\lambda \left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}\right)=\lambda \left({\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\right)=\lambda {\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\\{\overrightarrow {AI}}&=&{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BI}}={\overrightarrow {AB}}+\mu {\overrightarrow {BQ}}={\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AQ}}\right)={\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\dfrac {c}{a+c}}\,{\overrightarrow {AC}}\right)=\\&=&{\overrightarrow {AB}}+\mu \left({\overrightarrow {BA}}+{\dfrac {c}{a+c}}\,\left({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right)\right)=\left(1-\mu +{\dfrac {\mu c}{a+c}}\right){\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\mu c}{a+c}}\,{\overrightarrow {BC}}\end{array}}\right.}$

• Ara, la independència lineal dels vectors ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ demana que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}\lambda &=&1-\mu +{\dfrac {\mu c}{a+c}}\\{\dfrac {\lambda c}{b+c}}&=&{\dfrac {\mu c}{a+c}}\end{array}}\right.}$

• El sistema anterior, que és un sistema lineal, té les solucions

${\displaystyle \lambda ={\dfrac {b+c}{a+b+c}}\qquad \mu ={\dfrac {a+c}{a+b+c}}}$

• Finalment,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\overrightarrow {I}}&=&{\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {A}}+\lambda {\overrightarrow {AB}}+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {A}}+\lambda \left({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {A}}\right)+{\dfrac {\lambda c}{b+c}}\,\left({\overrightarrow {C}}-{\overrightarrow {B}}\right)=\\&=&{\overrightarrow {A}}+{\dfrac {b+c}{a+b+c}}\left({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {A}}\right)+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,\left({\overrightarrow {C}}-{\overrightarrow {B}}\right)=\\&=&{\dfrac {a}{a+b+c}}\,{\vec {A}}+{\dfrac {b}{a+b+c}}\,{\vec {B}}+{\dfrac {c}{a+b+c}}\,{\vec {C}}\end{array}}}$

Com que l'incentre ${\displaystyle I}$ d'un triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ equidista dels seus costats ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$, els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ amb centre a l'incentre ${\displaystyle I}$ i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incircle).

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles).

• Circumferència inscrita
• Teorema de la bisectriu
• Teorema de Ceva

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

• «Incentre». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
• Weisstein, Eric W., «Incenter» a MathWorld (en anglès).