El teorema de desigualtat triangular afirma que en qualsevol triangle la longitud d'un dels costats no pot mai superar a la suma de les longituds dels altres dos.
Al mateix temps, usant la propietat de valor absolut si i sols si en la línia de dalt queda:
Desigualtat triangular per a un espai n-dimensional
Està dada per l'expressió:
on m i n són nombres naturals, i nombres reals.
Demostració
Ara anem a demostrar que l'expressió anterior és certa per qualsevol n natural utilitzant el mètode d'inducció matemàtica.
(Suposarem que per n=2 ja està demostrat en l'inici de l'article)
Per a n=1:
(si bé son iguals, és cert que un nombre es menor o igual a si mateix)
Ara assumim que se compleix per n=k, amb k un nombre natural major que 1.
i provem que la desigualtat també se compleix per a n=k+1.
Partim de la següent expressió:
Com que és un nombre i és altre, podem aplicar la desigualtat triangular per n=2
Després, com que és sempre positiu i hem assumit que se compleix per n=k podem afirmar que:
Ajuntant el terme k+1 amb el sumatori ens queda:
Partint de , a través de passos lícits per igualtats i desigualtats del tipus "" hem arribat a . Així, podem concloure que: