Classe Schur

En matemàtiques, la classe Schur consisteix en les funcions de Schur: les funcions holomorfes des del disc unitat obert al disc unitat tancat. Aquestes funcions van ser estudiades per Issai Schur.^[1]

Els paràmetres de Schur γ_j d'una funció de Schur f₀ es defineixen recursivament com

${\displaystyle \gamma _{j}=f_{j}(0)}$

${\displaystyle zf_{j+1}={\frac {f_{j}(z)-\gamma _{j}}{1-{\overline {\gamma _{j}}}f_{j}(z)}}.}$

Tots els paràmetres de Schur γ_j tenen valor absolut com a màxim 1.

Això dona una expansió de fracció contínua de la funció de Schur f₀ utilitzant repetidament el fet que

${\displaystyle f_{j}(z)=\gamma _{j}+{\frac {1-|\gamma _{j}|^{2}}{{\overline {\gamma _{j}}}+{\frac {1}{zf_{j+1}(z)}}}}}$

que dona

${\displaystyle f_{0}(z)=\gamma _{0}+{\frac {1-|\gamma _{0}|^{2}}{{\overline {\gamma _{0}}}+{\frac {1}{z\gamma _{1}+{\frac {z(1-|\gamma _{1}|^{2})}{{\overline {\gamma _{1}}}+{\frac {1}{z\gamma _{2}+\cdots }}}}}}}}.}$

• Schur, I. «Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind. I, II» (en alemany). J. Reine Angew. Math.. Walter de Gruyter [Berlin], 147, 1918. DOI: 10.1515/crll.1917.147.205.
• Simon, Barry. Orthogonal polynomials on the unit circle. Part 1. Classical theory (en anglès). 54. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2005 (American Mathematical Society Colloquium Publications). ISBN 978-0-8218-3446-6. 
• Simon, Barry. Orthogonal polynomials on the unit circle. Part 2. Spectral theory (en anglès). 54. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2005 (American Mathematical Society Colloquium Publications). ISBN 978-0-8218-3446-6. 

• Polinomi de Szegő