Sudut Euler

Sudut Euler adalah tiga sudut yang diperkenalkan oleh Leonhard Euler untuk menggambarkan orientasi dari benda kaku sehubungan dengan sistem koordinat tetap.^[1]

Mereka juga dapat mewakili orientasi ponsel kerangka acuan dalam fisika atau orientasi basis umum dalam aljabar linear 3-dimensi. Bentuk alternatif kemudian diperkenalkan oleh Peter Guthrie Tait dan George H. Bryan dimaksudkan untuk digunakan dalam aereonautika dan teknik.

Setiap orientasi target dapat dicapai, mulai dari orientasi referensi yang diketahui, menggunakan urutan tertentu dari rotasi intrinsik, yang besarnya adalah sudut Euler dari orientasi target. Contoh ini menggunakan z-x′-z″ sebagai urutan.

Sudut euler dapat ditentukan oleh elemen geometri atau dengan komposisi rotasi. Definisi geometris menunjukkan bahwa tiga komposisi rotasi elemen (rotasi tentang sumbu sistem koordinat) selalu cukup untuk mencapai frame target.

Tiga rotasi elemen mungkin ekstrinsik (rotasi tentang sumbu xyz dari sistem koordinat asli, yang diasumsikan tetap tidak bergerak), atau intrinsik (rotasi tentang sumbu sistem koordinat berputar XYZ, solidaritas dengan benda bergerak, yang mengubah orientasinya setelah setiap elemen).

Sudut euler biasanya dilambangkan sebagai α, β, γ, atau φ, θ, ψ. Penulis yang berbeda dapat menggunakan kumpulan sumbu rotasi yang berbeda untuk menentukan sudut Euler, atau nama yang berbeda untuk sudut yang sama. Oleh karena itu, setiap diskusi yang menggunakan sudut Euler harus selalu didahului dengan definisinya.

Tanpa mempertimbangkan kemungkinan menggunakan dua konvensi yang berbeda untuk definisi sumbu rotasi (intrinsik atau ekstrinsik), ada dua belas kemungkinan urutan sumbu rotasi, dibagi dalam dua kelompok:

• Sudut Euler tepat (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
• Sudut Tait–Bryan (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).

Sudut Tait–Bryan atau disebut juga Sudut Cardan; sudut laut; arah, elevasi, dan tepian; atau yaw, pitch, and roll. Terkadang, kedua jenis urutan ini disebut "Sudut Euler". Dalam hal ini, urutan grup pertama disebut sudut Euler tepat atau klasik.

Atas: himpunan gimbal, menunjukkan a z-x-z urutan rotasi. Bingkai eksternal ditampilkan di alas. Sumbu internal berwarna merah. Bawah: Diagram sederhana yang menunjukkan sudut Euler serupa dalam diagram.

Sumbu dari bingkai asli dilambangkan sebagai x, y, z dan sumbu bingkai yang diputar sebagai X, Y, Z. Definisi geometris (kadang-kadang disebut sebagai statis) dimulai dengan mendefinisikan garis node sebagai perpotongan bidang xy dan XY (itu juga dapat didefinisikan sebagai tegak lurus umum terhadap sumbu z dan Z dan kemudian ditulis sebagai perkalian vektor N = z ${\displaystyle \times }$ Z). Dengan menggunakannya, tiga sudut Euler dapat didefinisikan sebagai berikut:

• ${\displaystyle \alpha }$ atau ${\displaystyle \varphi }$ adalah sudut antara x dan sumbu N sumbu (x konvensi tersebut juga bisa didefinisikan antara y dan N, disebut y pada konvensi).
• ${\displaystyle \beta }$ atau ${\displaystyle \theta \,}$ adalah sudut antara sumbu z dan sumbu Z.
• ${\displaystyle \gamma }$ atau ${\displaystyle \psi }$) adalah sudut antara sumbu N dan sumbu X (x pada konvensi).

Sudut euler antara dua frame referensi ditentukan hanya jika kedua frame memiliki orientasi yang sama.

Rotasi intrinsik adalah rotasi elemen yang terjadi di sekitar sumbu sistem koordinat XYZ yang melekat pada benda bergerak. Oleh karena itu, mereka mengubah orientasinya setelah setiap rotasi elemen. Sistem XYZ berputar, sedangkan xyz tetap. Dimulai dengan XYZ tumpang tindih antaraxyz, komposisi tiga rotasi intrinsik dapat digunakan untuk mencapai orientasi target apa pun untuk XYZ.

Sudut euler dapat ditentukan oleh rotasi intrinsik. Bingkai yang diputar XYZ dapat dibayangkan awalnya disejajarkan dengan xyz, sebelum menjalani tiga rotasi elemen yang diwakili oleh Euler. Orientasinya yang berurutan dapat dilambangkan sebagai berikut:

• x-y-z, atau x₀-y₀-z₀ pertama
• x′-y′-z′, atau x₁-y₁-z₁ (setelah rotasi pertama)
• x″-y″-z″, or x₂-y₂-z₂ (setelah rotasi kedua)
• X-Y-Z, atau x₃-y₃-z₃ (terakhir)

Untuk urutan rotasi yang tercantum di atas, garis node N dapat secara sederhana didefinisikan sebagai orientasi X setelah rotasi elemen pertama. Oleh karena itu, N dapat dilambangkan dengan x. Selain itu, karena rotasi elemen ketiga terjadi di sekitar Z, hal itu tidak mengubah orientasi Z. Karenanya Z bertepatan dengan z″. Ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan definisi sudut Euler sebagai berikut:

• α atau ${\displaystyle \varphi }$ mewakili rotasi di sekitar sumbu z,
• β atau ${\displaystyle \theta }$ mewakili rotasi di sekitar sumbu x",
• γ atau ${\displaystyle \psi }$ mewakili rotasi di sekitar sumbu z″.

Rotasi ekstrinsik adalah rotasi elemen yang terjadi pada sumbu sistem koordinat tetap xyz. Sistem XYZ berputar, sedangkan xyz ditetapkan. Dimulai dengan XYZ tumpang tindih xyz, komposisi tiga rotasi ekstrinsik dapat digunakan untuk mencapai orientasi target apa pun untuk XYZ. Sudut Euler atau Tait-Bryan (α, β, γ) adalah amplitudo dari rotasi elemen ini. Contohnya, orientasi target dapat dicapai sebagai berikut (perhatikan urutan terbalik dari Euler):

• Sistem XYZ berputar di sekitar sumbu z dengan γ . Sumbu X sekarang berada pada sudut γ sehubungan dengan sumbu x .
• Sistem XYZ berputar lagi di sekitar sumbu x dengan β . Sumbu Z sekarang berada pada sudut β sehubungan dengan sumbu z .
• Sistem XYZ berputar untuk ketiga kalinya tentang sumbu z dengan α .

Singkatnya, tiga rotasi elemen terjadi pada z , x dan z . Memang, urutan ini sering dilambangkan dengan z - x - z (atau 3-1-3). Kumpulan sumbu rotasi yang terkait dengan sudut Euler dan sudut Tait–Bryan biasanya dinamai menggunakan notasi ini (lihat detailnya di atas).

Sudut biasanya ditentukan menurut aturan tangan kanan. Yakni, mereka memiliki nilai positif saat mewakili rotasi yang muncul searah jarum jam saat melihat ke arah sumbu positif, dan nilai negatif ketika rotasi muncul berlawanan arah jarum jam. Konvensi yang berlawanan (aturan tangan kiri) lebih jarang diadopsi.

Tentang rentang (menggunakan notasi interval):

• untuk α dan γ , kisarannya ditentukan modulo 2π radian s. Misalnya, rentang yang valid bisa jadi [ -π, π].
• untuk β , rentangnya mencakup π radian (tetapi tidak bisa dikatakan sebagai modulo π). Contohnya, bisa jadi [0, π] atau [−π/2, π/2].

Sudut α , β dan γ ditentukan secara unik kecuali untuk kasus tunggal bahwa bidang xy dan XY identik, yaitu ketika z dan sumbu Z . Memang, jika sumbu z dan sumbu Z adalah sama, β =0 dan hanya ( α + γ ) yang didefinisikan secara unik (bukan nilai individu), dan, demikian pula, jika sumbu z dan sumbu Z berlawanan, β =π dan hanya ( α - γ ) yang didefinisikan secara unik (bukan nilai-nilai individu). Ambiguitas ini dikenal sebagai gimbal lock dalam aplikasi.

Ada enam kemungkinan memilih sumbu rotasi untuk sudut Euler yang tepat. Pada semuanya, sumbu rotasi pertama dan ketiga sama. Enam kemungkinan urutan tersebut adalah:

1. z₁-x′-z₂″ (rotasi intrinsik) atau z₂-x-z₁ (rotasi ekstrinsik)
2. x₁-y′-x₂″ (rotasi intrinsik) atau x₂-y-x₁ (rotasi ekstrinsik)
3. y₁-z′-y₂″ (rotasi intrinsik) atau y₂-z-y₁ (rotasi ekstrinsik)
4. z₁-y′-z₂″ (rotasi intrinsik) atau z₂-y-z₁ (rotasi ekstrinsik)
5. x₁-z′-x₂″ (rotasi intrinsik) atau x₂-z-x₁ (rotasi ekstrinsik)
6. y₁-x′-y₂″ (intrinsic rotations) or y₂-x-y₁ (rotasi ekstrinsik)

Presesi, nutasi, dan rotasi intrinsik (spin) didefinisikan sebagai gerakan yang diperoleh dengan mengubah salah satu sudut Euler sambil membiarkan dua konstanta lainnya. Gerakan-gerakan ini tidak diekspresikan dalam kerangka eksternal, atau dalam kerangka kerangka bodi yang ikut bergerak, tetapi dalam campuran. Mereka merupakan sistem sumbu rotasi campuran, di mana sudut pertama menggerakkan garis node di sekitar sumbu eksternal z , yang kedua berputar di sekitar garis simpul N dan yang ketiga adalah rotasi intrinsik di sekitar Z , sumbu tetap di tubuh yang bergerak.

Definisi statis menyiratkan bahwa:

• α (presesi) mewakili rotasi di sekitar sumbu z ,
• β (nutasi) mewakili rotasi di sekitar sumbu N atau x ′,
• γ (rotasi intrinsik) merepresentasikan rotasi di sekitar sumbu Z atau z ″.

Bila β adalah nol, tidak ada rotasi tentang N . Akibatnya, Z bertepatan dengan z , α dan γ mewakili rotasi pada sumbu yang sama ( z ), dan orientasi akhir dapat diperoleh dengan rotasi tunggal sekitar z , dengan sudut yang sama dengan α + γ.

Sebagai contoh, pertimbangkan sebuah puncak. Bagian atas berputar di sekitar sumbu simetrinya; ini sesuai dengan rotasi intrinsiknya. Hal ini juga berputar di sekitar poros pentingnya, dengan pusat massanya yang mengorbit sumbu penting; rotasi ini adalah presesi. Akhirnya, bagian atas bisa bergoyang naik turun; sudut kemiringan adalah sudut nutasi. Contoh yang sama bisa dilihat dengan pergerakan bumi.

Meskipun ketiga gerakan dapat diwakili oleh operator rotasi dengan koefisien konstan dalam beberapa bingkai, mereka tidak dapat diwakili oleh semua operator ini pada saat yang bersamaan. Dengan adanya kerangka acuan, paling banyak salah satu dari mereka akan bebas koefisien. Hanya presesi yang dapat diekspresikan secara umum sebagai matriks di dasar ruang tanpa ketergantungan sudut lainnya.

Gerakan ini juga berperilaku sebagai satu himpunan gimbal. Jika kita mengandaikan satu set bingkai, dapat bergerak masing-masing sehubungan dengan yang pertama hanya berdasarkan satu sudut, seperti gimbal, akan ada bingkai tetap eksternal, satu bingkai terakhir dan dua bingkai di tengah, yang disebut "bingkai perantara". Dua di tengah berfungsi sebagai dua cincin gimbal yang memungkinkan bingkai terakhir mencapai orientasi apa pun di ruang angkasa.

Jenis kedua dari formalisme disebut Sudut Tait-Bryan, setelah Peter Guthrie Tait dan George H. Bryan. Ini adalah konvensi yang biasanya digunakan untuk aplikasi ruang angkasa, sehingga ketinggian nol derajat mewakili sikap horizontal. Sudut Tait–Bryan mewakili orientasi pesawat terhadap kerangka dunia. Saat berhadapan dengan kendaraan lain, konvensi sumbu yang berbeda dimungkinkan.

Definisi dan notasi yang digunakan untuk sudut Tait – Bryan serupa dengan yang dijelaskan di atas untuk sudut Euler yang tepat (definisi geometris, definisi rotasi intrinsik, definisi rotasi ekstrinsik). Satu-satunya perbedaan adalah bahwa sudut Tait – Bryan mewakili rotasi tentang tiga sumbu berbeda (yaitu x-y-z, atau x-y′-z″), sementara sudut Euler yang tepat menggunakan sumbu yang sama untuk rotasi elemen pertama dan ketiga (misalnya, z-x-z, or z-x′-z″).

Ini menyiratkan definisi yang berbeda untuk garis node dalam konstruksi geometris. Dalam kasus sudut Euler yang tepat itu didefinisikan sebagai perpotongan antara dua bidang kartesius homolog (sejajar ketika sudut Euler adalah nol; misalnya xy dan XY ). Dalam kasus sudut Tait-Bryan, ini didefinisikan sebagai perpotongan dua bidang non-homolog (tegak lurus saat sudut Euler adalah nol; misalnya xy dan YZ ).

Tiga rotasi elemen dapat terjadi baik di sekitar sumbu sistem koordinat asli, yang tetap tidak bergerak (rotasi ekstrinsik), atau tentang sumbu dari sistem koordinat berputar, yang mengubah orientasinya setelah setiap rotasi elemen (rotasi intrinsik).

Ada enam kemungkinan untuk memilih sumbu rotasi untuk sudut Tait – Bryan. Enam kemungkinan urutan adalah:

• x-y′-z″ (rotasi intrinsik) atau z-y-x (rotasi ekstrinsik)
• y-z′-x″ (rotasi intrinsik) atau x-z-y (rotasi ekstrinsik)
• z-x'-y″ (rotasi intrinsik) atau y-x-z (rotasi ekstrinsik)
• x-z′-y″ (rotasi intrinsik) atau y-z-x (rotasi ekstrinsik)
• z-y′-x″ (rotasi intrinsik) atau x-y-z (rotasi ekstrinsik): rotasi intrinsik dikenal sebagai: yaw, pitch and roll
• y-x′-z″ (rotasi intrinsik) atau z-x-y (rotasi ekstrinsik)

Konvensi Tait–Bryan banyak digunakan dalam bidang teknik dengan tujuan berbeda. Ada beberapa konvensi sumbu dalam praktik untuk memilih sumbu bergerak dan tetap, dan konvensi ini menentukan tanda-tanda sudut. Oleh karena itu, tanda-tanda harus dipelajari dalam setiap kasus dengan cermat.

Kisaran sudut ψ dan φ mencakup 2π radian. Untuk θ kisarannya mencakup π radian

Sudut ini biasanya diambil sebagai satu dalam kerangka referensi eksternal (heading, bearing), satu dalam kerangka bergerak intrinsik (tepian) dan satu lagi di bingkai tengah, mewakili sebuah elevasi atau kemiringan sehubungan dengan bidang horizontal, yang setara dengan garis node untuk tujuan ini.

Templat:Roll pitch yaw mnemonic.svg Untuk sebuah pesawat, mereka dapat diperoleh dengan tiga rotasi di sekitar sumbu utama jika dilakukan dengan urutan yang benar. yaw akan mendapatkan bantalan, pitch akan menghasilkan elevasi dan gulungan memberikan sudut tepian. Oleh karena itu, di luar angkasa terkadang mereka disebut menggunakan bahasa Inggris yaitu yaw, pitch and roll. Perhatikan bahwa ini tidak akan berfungsi jika rotasi diterapkan dalam urutan lain atau jika sumbu pesawat mulai pada posisi apa pun yang tidak setara dengan kerangka acuan.

Sudut Tait–Bryan, mengikuti z-y′-x″ (rotasi intrinsik), juga dikenal sebagai sudut laut, karena mereka dapat digunakan untuk menggambarkan orientasi kapal atau pesawat, atau sudut Cardan, diambil dari nama ahli matematika dan fisikawan Italia Gerolamo Cardano, yang pertama kali menjelaskan secara rinci suspensi Cardan dan sendi Cardan.

Masalah yang umum adalah mencari sudut Euler dari bingkai tertentu. Cara tercepat untuk mendapatkannya adalah dengan menulis tiga vektor yang diberikan sebagai kolom matriks dan membandingkannya dengan ekspresi teorinya (lihat tabel matriks selanjutnya). Karenanya tiga Sudut Euler dapat dihitung. Namun demikian, hasil yang sama dapat dicapai dengan menghindari aljabar matriks dan hanya menggunakan geometri elemen. Di sini kami menyajikan hasil untuk dua konvensi yang paling umum digunakan: ZXZ untuk sudut Euler yang tepat dan ZYX untuk Tait–Bryan. Perhatikan bahwa konvensi lain dapat diperoleh hanya dengan mengubah nama sumbu.

Asumsikan bingkai dengan vektor unit (X, Y, Z) diberikan oleh koordinat mereka seperti pada diagram utama, dapat dilihat bahwa:

${\displaystyle \cos(\beta )=Z_{3}.}$

Dan, karena itu

${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$

kita punya

${\displaystyle \sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

Sebagai ${\displaystyle Z_{2}}$ adalah proyeksi ganda dari vektor kesatuan,

${\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )=-Z_{2},}$

${\displaystyle \cos(\alpha )=-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

Ada konstruksi serupa untuk ${\displaystyle Y_{3}}$, memproyeksikannya terlebih dahulu di atas bidang yang ditentukan oleh sumbu z dan garis simpul. Seperti sudut antar bidang ${\displaystyle \pi /2-\beta }$ dan ${\displaystyle \cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta )}$, hal ini mengarah ke:

${\displaystyle \sin(\beta )\cdot \cos(\gamma )=Y_{3},}$

${\displaystyle \cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}},}$

dan terakhir, menggunakan fungsi kosinus invers,

${\displaystyle \alpha =\arccos(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}),}$

${\displaystyle \beta =\arccos(Z_{3}),}$

${\displaystyle \gamma =\arccos(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}).}$

Asumsikan bingkai dengan vektor unit (X, Y, Z) diberikan oleh koordinat mereka seperti pada diagram baru ini (perhatikan bahwa sudut theta negatif), dapat dilihat bahwa:

${\displaystyle \sin(\theta )=-X_{3}}$

Seperti sebelumnya,

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,}$

kita punya

${\displaystyle \cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

dengan cara yang mirip dengan yang sebelumnya:

${\displaystyle \sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

${\displaystyle \sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

Mencari ekspresi yang mirip dengan yang sebelumnya:

${\displaystyle \psi =\arcsin(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}),}$

${\displaystyle \theta =\arcsin(-X_{3}),}$

${\displaystyle \phi =\arcsin(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}).}$

Perhatikan bahwa fungsi invers sinus dan cosinus menghasilkan dua kemungkinan nilai untuk argumen tersebut. Dalam deskripsi geometri ini hanya satu solusi yang valid. Ketika Sudut Euler didefinisikan sebagai urutan rotasi, semua solusi bisa valid, tetapi hanya akan ada satu di dalam rentang sudut. Ini karena urutan rotasi untuk mencapai bingkai target tidak unik jika rentangnya tidak ditentukan sebelumnya.^[2]

Untuk tujuan komputasi, mungkin berguna untuk merepresentasikan sudut menggunakan atan2(y, x). Contohnya, dalam kasus sudut Euler yang tepat:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (Z_{1},-Z_{2}),}$

${\displaystyle \gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).}$

Sudut euler adalah salah satu cara untuk merepresentasikan orientasi. Ada yang lain, dan dimungkinkan untuk mengubah ke dan dari konvensi lain. Tiga parameter selalu diperlukan untuk menggambarkan orientasi dalam 3-dimensi Ruang Euklides. Mereka dapat diberikan dalam beberapa cara, salah satunya sudut Euler; lihat grafik di SO(3) untuk lainnya.

Representasi orientasi yang paling banyak digunakan adalah matriks rotasi, sudut sumbu dan angka empat, juga dikenal sebagai parameter Euler–Rodrigues, yang menyediakan mekanisme lain untuk merepresentasikan rotasi 3D. Hal ini sama dengan deskripsi kelompok kesatuan khusus.

Mengekspresikan rotasi dalam 3D sebagai satuan quaternions dan bukan matriks memiliki beberapa keuntungan:

• Rotasi penggabungan secara komputasi lebih cepat dan secara numerik lebih stabil.
• Mengekstraksi sudut dan sumbu rotasi lebih sederhana.
• Interpolasi lebih mudah. Lihat misalnya slerp.
• Quaternion tidak menderita gimbal lock seperti sudut Euler.

Terlepas dari itu, kalkulasi matriks rotasi adalah langkah pertama untuk mendapatkan dua representasi lainnya.

Orientasi apa pun dapat dicapai dengan menyusun tiga rotasi elemen, dimulai dari orientasi standar yang diketahui. Secara ekivalen, setiap matriks rotasi R dapat terdekomposisi sebagai hasil kali dari tiga matriks rotasi elemen. Contohnya:

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

adalah matriks rotasi yang dapat digunakan untuk merepresentasikan komposisi rotasi ekstrinsik tentang sumbu z, y, x, (dalam urutan itu), atau komposisi rotasi intrinsik tentang sumbu x-y′-z″ (dalam urutan itu).

Sudut Euler yang tepat	Sudut Tait–Bryan
${\displaystyle X_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}\\c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-s_{2}&c_{2}s_{3}\\s_{1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}&c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}\\c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle X_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}\\s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}\\-c_{1}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}&s_{2}\\c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1}\\s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}\\s_{2}s_{3}&c_{2}&-c_{3}s_{2}\\-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}\\c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}&-s_{2}\\c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}s_{2}+s_{1}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}\\c_{3}s_{2}&c_{2}&s_{2}s_{3}\\-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}\\s_{2}&c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}\\-c_{2}s_{1}&c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}\\c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}\\-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}&c_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&s_{1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}\\c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}\\-s_{2}&c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2}\\s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}&c_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1}&c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}\\-c_{2}s_{3}&s_{2}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix}}}$

^[3]

Untuk mengubah rumus rotasi pasif (atau mencari rotasi aktif terbalik), ubah urutan matriks (kemudian setiap matriks mengubah koordinat awal dari sebuah vektor yang tetap menjadi koordinat dari vektor yang sama yang diukur dalam sistem referensi yang diputar; sumbu rotasi yang sama, sudut yang sama, tetapi sekarang sistem koordinat berputar, bukan vektor).

• Proyeksi 3D
• Representasi sudut sumbu
• Konversi antara quaternions dan sudut Euler
• Rotasi berantai Davenport
• Teorema rotasi Euler
• Quaternion
• Quaternion dan rotasi spasial
• Formalisme rotasi dalam tiga dimensi
• Sistem Koordinat Bola

• Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981), Angular Momentum in Quantum Physics, Reading, MA: Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-13507-7 
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (edisi ke-2nd), Reading, MA: Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-02918-5 
• Gray, Andrew (1918), A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, London: Macmillan (dipublikasikan tanggal 2007), ISBN 978-1-4212-5592-7 
• Rose, M. E. (1957), Elementary Theory of Angular Momentum, New York, NY: John Wiley & Sons (dipublikasikan tanggal 1995), ISBN 978-0-486-68480-2 
• Symon, Keith (1971), Mechanics, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-07392-8 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1996), Mechanics (edisi ke-3rd), Oxford: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2896-9 

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Euler angles.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Euler angles", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Euler Angles". MathWorld. 
• David Eberly. Euler Angle Formulas, Geometric Tools
• An interactive tutorial on Euler angles available at https://www.mecademic.com/resources/Euler-angles/Euler-angles
• EulerAngles – an iOS app for visualizing in 3D the three rotations associated with Euler angles
• Orientation Library – "orilib", a collection of routines for rotation / orientation manipulation, including special tools for crystal orientations
• Online tool to convert rotation matrices available at rotation converter (numerical conversion)
• Online tool to convert symbolic rotation matrices (dead, but still available from the Wayback Machine) symbolic rotation converter
• Rotation, Reflection, and Frame Change: Orthogonal tensors in computational engineering mechanics, IOP Publishing