Modul Clifford

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini. Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala. Tag ini diberikan pada Februari 2023.

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Clifford module di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam matematika, modul Clifford merupakan representasi dari aljabar Clifford. Umumnya, aljabar Clifford ${\displaystyle C}$ adalah aljabar sederhana pusat atas suatu perluasan medan ${\displaystyle L}$ dari medan ${\displaystyle K}$ di mana bentuk kuadrat ${\displaystyle Q}$ yang mendefinisikan ${\displaystyle C}$ didefinisikan.

Teori abstrak dari modul Clifford ditemukan oleh sebuah makalah dari M. F. Atiyah, R. Bott, dan Arnold S. Shapiro. Hasil fundamental pada modul Clifford adalah kelas ekuivalen Morita dari aljabar Clifford (kelas ekuivalen dari kategori modul Clifford lebih dari itu) bergantung hanya pada signature p − q (mod 8). Ini adalah bentuk aljabar dari periodisitas Bott.

Kita perlu mempelajari matriks antikomutatif ${\displaystyle (AB=-BA)}$ karena dalam aljabar Clifford vektor ortogonal antikomutatif

${\displaystyle A\cdot B={\frac {1}{2}}(AB+BA)=0.}$

Untuk aljabar Clifford real ${\displaystyle \mathbb {R} _{p,q}}$, kita membutuhkan matriks ${\displaystyle p+q}$ yang saling antikomutatif, yang mana ${\displaystyle p}$ memiliki ${\displaystyle +1}$ sebagai persegi dan ${\displaystyle q}$ memiliki ${\displaystyle -1}$ sebagai persegi.

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{a}^{2}&=&+1&{\mbox{if}}&1\leq a\leq p\\\gamma _{a}^{2}&=&-1&{\mbox{if}}&p+1\leq a\leq p+q\\\gamma _{a}\gamma _{b}&=&-\gamma _{b}\gamma _{a}&{\mbox{if}}&a\neq b.\ \\\end{matrix}}}$

Basis seperti itu dari matriks gamma tidak unik. Salah satunya selalu dapat memperoleh himpunan lain dari matriks gamma memenuhi aljabar Clifford yang sama melalui transformasi kesamaan .

${\displaystyle \gamma _{a'}=S\gamma _{a}S^{-1},}$

dimana ${\displaystyle S}$ adalah matriks nonsingular. Himpunan ${\displaystyle \gamma _{a'}}$ dan ${\displaystyle \gamma _{a}}$ memiliki kelas ekuivalen yang sama.

Dikembangkan oleh Ettore Majorana, modul Cilfford ini memungkinkan konstruksi dari persamaan Dirac tanpa biangan kompleks, dan anggotanya disebut spinor Majorana.

Empat vektor basis adalah tiga matriks Pauli dan keempat matriks antihermitian. Signaturenya adalah (+++−). Untuk signature (+−−−) dan (−−−+) seringkali digunakan dalam fisika, matriks kompleks 4×4 atau matriks real 8×8 dibutuhkan.

• Matriks Weyl-Brauer
• Matriks gamma dimensi yang lebih tinggi
• Bundel modul Clifford

• Atiyah, Michael; Bott, Raoul; Shapiro, Arnold (1964), "Clifford Modules" (PDF), Topology, 3 (Suppl. 1): 3–38, doi:10.1016/0040-9383(64)90003-5, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-07-17, diakses tanggal 2011-07-28 
• Deligne, Pierre (1999), "Notes on spinors", dalam Deligne, P.; Etingof, P.; Freed, D.S.; Jeffrey, L.C., Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Providence: American Mathematical Society, hlm. 99–135, ISBN 978-0-8218-2012-4 . See also the programme website for a preliminary version.
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4 .
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0 .