Gelanggang hasil bagi

Templat:Ring theory sidebar

Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang hasil bagi, juga dikenal sebagai gelanggang faktor, gelanggang perbedaan^[1] atau gelanggang kelas residu, adalah konstruksi yang sangat mirip dengan kelompok hasil bagi dari teori kelompok dan ruang hasil bagi dari aljabar linear.^[2][3] Ini adalah contoh spesifik dari hasil bagi, dilihat dari pengaturan umum aljabar universal. Yang pertama dimulai dengan cincin R dan ideal dua sisi I di R , dan membuat gelanggang baru, gelanggang hasil bagi R / I, yang elemennya adalah kohimpunan dari I pada R yang tunduk pada operasi + dan ⋅ khusus.

Gelanggang hasil bagi berbeda dari yang disebut 'bidang hasil bagi', atau bidang pecahan, dari domain integral serta dari 'gelanggang quotients' yang lebih umum diperoleh dengan lokalisasi.

Diberikan sebuah cincin ${\displaystyle R}$ dan ideal dua sisi ${\displaystyle I}$ di ${\displaystyle R}$, kita dapat mendefinisikan sebuah relasi ekivalen ${\displaystyle \sim }$ di ${\displaystyle R}$ sebagai berikut:

${\displaystyle a\sim b}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle a-b}$ ada di ${\displaystyle I}$.

Menggunakan properti yang ideal, tidak sulit untuk memeriksanya ${\displaystyle \sim }$ adalah hubungan kesesuaian. Dalam hal ${\displaystyle a\sim b}$, kami mengatakan bahwa ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah kongruen modulo ${\displaystyle I}$. Kelas ekivalen dari elemen ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle R}$ diberikan oleh

${\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}}$.

Kelas kesetaraan ini terkadang juga ditulis sebagai ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$ dan disebut "kelas residu dari ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle I}$".

Himpunan dari semua kelas ekivalen dilambangkan dengan ${\displaystyle R/I}$; maka akan menjadi sebuah gelanggang, gelanggang faktor atau gelanggang hasil bagi dari ${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$, jika didefinisikan

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.

(Di sini kita harus memeriksa bahwa definisi ini adalah terdefinisi dengan baik. Bandingkan koset dan kelompok hasil bagi.) Elemen nol dari ${\displaystyle R/I}$ adalah ${\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}$, dan identitas multiplikatifnya ${\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}$.

Peta ${\displaystyle p}$ dari ${\displaystyle R}$ ke ${\displaystyle R/I}$ didefinisikan oleh ${\displaystyle p(a)=a+I}$ adalah surjektif gelanggang homomorfisme, kadang-kadang disebut peta kecerdasan alami atau homomorfisme kanonik.

Jika ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ sebuah gelanggang dan ${\displaystyle I}$ a (dua sisi) ideal dari ${\displaystyle R}$, kemudian membentuk himpunan ${\displaystyle R/I=\left\{a+I\mid a\in R\right\}}$ dari kelas ekivalen pada modulo ${\displaystyle I}$ sebuah gelanggang dengan tautan berikut:

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}$
• ${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I,}$

di mana ${\displaystyle (a+I)}$ didefinisikan sebagai ${\displaystyle \{a+r\,|\,r\in I\}}$.

Cincin ini disebut ring faktor ${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$ atau ring kelas sisa atau ring hasil bagi. (Namun, ini tidak ada hubungannya dengan istilah bidang hasil bagi atau gelanggang hasil bagi; ini adalah pelokalan.)

Misalkan ${\displaystyle R}$ menjadi cincin komutatif dengan satu elemen dan ${\displaystyle I\subseteq R}$ sebuah cita-cita. Dari pada

• ideal cincin ${\displaystyle R/I}$ persis seperti ideal ${\displaystyle J}$ dari ${\displaystyle R}$, yang berisi ${\displaystyle I}$ (also ${\displaystyle I\subseteq J}$ )
• bagian utama cincin ${\displaystyle R/I}$ persis seperti cita-cita utama ${\displaystyle R}$ yang berisi ${\displaystyle I}$
• ideal maksimal ring ${\displaystyle R/I}$ persis dengan ideal maksimal dari ${\displaystyle R}$ yang berisi ${\displaystyle I}$

• Cincin bertingkat terkait
• Bidang residu
• Teorema Goldie
• Modul hasil bagi

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
• Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
• Joseph Rotman (1998). Galois Theory (2nd edition). Springer. hlm. 21–3. ISBN 0-387-98541-7. 
• B.L. van der Waerden (1970) Algebra, translated by Fred Blum and John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. See Chapter 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pages 47 to 51.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Quotient ring", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Ideals and factor rings Diarsipkan 2020-06-30 di Wayback Machine. from John Beachy's Abstract Algebra Online
• Quotient ring, PlanetMath.org.