Barisan

Dalam matematika, barisan^[1] (atau banjar^[2], atau bahkan secara istilah terkelirukan dengan deret) secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan, fungsi, peubah acak, dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu^[3]. Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu^[4]. Benda dengan indeks i disebut suku ke-i. Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebut panjang barisan.

Berbeda dengan himpunan, urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E ,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.

Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi dengan daerah asalnya adalah bilangan asli^[5].

Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan seperti barisan aritmatika dan barisan geometri, atau yang dibentuk dengan aturan tertentu seperti barisan Fibonacci dan barisan bilangan prima. Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.

Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yang berbaris. Masing-masing anggota barisan disebut suku dan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang ${\displaystyle u_{n}}$, yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yakni ${\displaystyle 1}$ dikaitkan dengan ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle 2}$ dikaitkan dengan ${\displaystyle u_{2}}$, dan seterusnya. Dengan pengertian fungsi, dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ${\displaystyle U:\mathbb {N} \to K}$ untuk sebarang himpunan ${\displaystyle K}$ dengan nilai ${\displaystyle U(n)=u_{n}}$^[6]. Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang ${\displaystyle U}$ atau ${\displaystyle (u_{n})}$ atau ${\textstyle (u_{n}\mid n\in \mathbb {N} )}$^[7] atau ${\displaystyle \langle u_{n}\rangle }$^[8].

Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:

• mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
• menyuratkan rumus suku umumnya,
• relasi perulangan
• menerangkannya dengan kalimat.

Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai ${\textstyle (3,10,17,24,31)}$. Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti ${\displaystyle (u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{n})}$. Jika barisan itu tak hingga, biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisan ${\displaystyle (2,4,6,8,...)}$ yang merupakan barisan bilangan genap.

Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisan ${\displaystyle (1,2,3...)}$ adalah barisan bilangan asli ${\displaystyle (1,2,3,4,5,6.7...)}$. Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan ${\displaystyle (1,2,3,1,-7,-24,-53,...)}$. Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu ${\textstyle (3,1,4,1,5,...)}$ Antara dugaan yang mungkin adalah ${\textstyle (3,1,4,1,5,1,6,7,...)}$. Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digit pi, yaitu ${\textstyle (3,1,4,1,5,9,2,6,5,...)}$. Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.

Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku

• barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai ${\textstyle a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$,
• barisan Barisan tanda dirumuskan sebagai ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$.
• barisan aritmatika dengan suku awal ${\displaystyle a}$ dan beda dua suku berurutan ${\displaystyle b}$ dirumuskan sebagai ${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b}$,
• barisan geometri dengan suku awal ${\displaystyle a}$ dan perbandingan dua suku berurutan ${\displaystyle r}$ dirumuskan sebagai ${\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}$.

Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalah barisan Fibonacci ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$ dengan syarat awal ${\displaystyle a_{0}=0}$ dan ${\displaystyle a_{1}=1.}$ Juga barisan Recamán yang didefinisikan dengan$${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{selainnya}},\end{cases}}}$$Barisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+b,\ a_{1}=a}$. untuk barisan aritmatika, dan ${\displaystyle a_{n}=ra_{n-1},\ a_{1}=a}$ untuk barisan geometri.

Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertian fungsi^[6], ruang, dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang kajian analisis matematis, seperti pengertian limit fungsi, pengertian turunan, dan pengertian integral Riemman.

Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalah pencacahan.

Suatu barisan dikatakan:

• monoton naik apabila untuk sebarang bilangan bulat ${\displaystyle n}$ berlaku ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$,
• monoton naik sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat ${\displaystyle n}$ berlaku ${\displaystyle a_{n}<a_{n+1}}$,
• monoton turun apabila untuk sebarang bilangan bulat ${\displaystyle n}$ berlaku ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$,
• monoton turun sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat ${\displaystyle n}$ berlaku ${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}}$,

Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai ${\displaystyle A}$ sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku ${\displaystyle u_{n}<A}$. Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai ${\displaystyle B}$ sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku ${\displaystyle u_{n}<B}$. Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.

Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatu fungsi jarak, barisan ${\displaystyle (u_{n})}$ dikatakan konvergen menuju ${\displaystyle u}$ jika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan ${\displaystyle u}$ ketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakan divergen apabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebut barisan Cauchy. Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.

• Net (topologi), perumuman barisan, dengan mengambil himpunan berarah sebagai daerah asalnya.
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Permutasi
• Kombinasi
• Relasi perulangan
• Sequence space
• Deret (matematika)
• Himpunan (matematika)

• Barisan Farey
• Look-and-say sequence
• Thue–Morse sequence

• List (computing)
• Ordinal-indexed sequence
• Recursion (computer science)
• Rangkap
• Teori himpunan

• Cauchy product
• Limit suatu barisan

• Definisi kamus barisan di Wikikamus
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Sequence", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Journal of Integer Sequences (free)
• (Inggris) sequence (ID: barisan) di PlanetMath.